[논문 리뷰] Dynamics in Systems with Modulated Symmetries

Pablo Sala, Julius Lehmann외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 15.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다중극 및 부분계칭을 일반화한 공간적으로 조절된 대칭성—지수 및 (준)주기적 형태—을 도입한다. 이러한 대칭성은 비평형 동역학에서 이국적인 행동을 유도함을 보여준다: 1차원에서는 유한한 운동량에 의해 조절되는 확산적 상관관계 스케일링을 유도하고, 고차원에서는 격자 스케일의 공간적 진동과 보존된 운동량 선/면을 수반하는 초확산적 행동을 생성하며, 지수적 조절은 무한히 오래 지속되는 표면 상관관계를 유도한다.

ABSTRACT

We extend the notions of multipole and subsystem symmetries to more general {\it spatially modulated} symmetries. We uncover two instances with exponential and (quasi)-periodic modulations, and provide simple microscopic models in one, two and three dimensions. Seeking to understand their effect in the long-time dynamics, we numerically study a stochastic cellular automaton evolution that obeys such symmetries. We prove that in one dimension, the periodically modulated symmetries lead to a diffusive scaling of correlations modulated by a finite microscopic momentum. In higher dimensions, these symmetries take the form of lines and surfaces of conserved momenta. These give rise to exotic forms of sub-diffusive behavior with a rich spatial structure influenced by lattice-scale features. Exponential modulation, on the other hand, can lead to correlations that are infinitely long-lived at the boundary, while decaying exponentially in the bulk.

연구 동기 및 목표

• 다중극 및 부분계칭을 더 넓은 범위의 공간적으로 조절된 대칭성, 즉 지수 및 (준)주기적 형태로 일반화하는 것.
• 국소적으로 상호작용하는 스토케스틱 세포자동기 프레임워크를 통해 1D, 2D, 3D에서 이러한 대칭성을 실현하는 명시적 미세구조 모델을 구성하는 것.
• 이러한 시스템의 장시간 동역학을 조사하여, 조절된 대칭성이 상관관계 함수와 운반 특성에 미치는 영향을 밝혀내는 것.
• 격자 스케일의 특징이 비교역적 공간 대칭성을 가진 시스템에서 매크로스코픽 유체역학적 행동에 미치는 영향을 규명하는 것.
• 모멘텀 공간에서의 보존된 운동량 초표면과 실공간에서의 비정상적 공간적 감쇠 및 진동 사이의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 보존된 전하의 형태인 $\mathcal{Q}_{\{\alpha_{\bm{r}}\}} = \sum_{\bm{r}} \alpha_{\bm{r}} q_{\bm{r}}$를 통해 조절된 대칭성을 수학적으로 정의하며, 여기서 $\alpha_{\bm{r}}$는 공간적으로 조절된 함수이다.
• 국소 게이트 $G_x = \{n_{-1}, n_0, n_{+1}\}$를 갖는 스토케스틱 세포자동기 프레임워크를 사용하여 동역학을 시뮬레이션하고 대칭성을 강제로 적용한다.
• 게이트 동역학 하에서 보존을 보장하기 위해 $\alpha_j$에 대한 재귀관계식 $\alpha_{j+2} = \frac{p}{q}\alpha_{j+1} - \alpha_j$를 유도한다.
• 모멘텀 공간에서의 보존된 운동량 만곡선에 대한 역푸리에 변환을 통해 실공간 상관관계 감쇠를 분석한다.
• 모멘텀 공간의 닫힌 루프 위에서의 점근적 적분에 대해 정적위상 근사법을 적용하여, 일반적인 방향에서 $r^{-1/2}$ 감쇠를 도출한다.
• 모멘텀 공간 초표면 위에서의 매개변수화된 적분을 사용하여 실공간 조절 $\alpha(\bm{r})$를 수치적으로 평가하며, 2D에서의 쌍곡선 호와 같은 사례를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간적으로 조절된 대칭성—기본적인 다중극 또는 부분계칭을 초월하여—는 양자 시스템의 장시간 동역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 비균일한 모멘텀 공간 만곡선과 관련된 보존된 양의 실공간 내부의 구조와 감쇠 행동은 어떠한가?
• RQ3 2D 및 3D에서 보존된 운동량 선 또는 면이 초확산적 또는 진동적 상관관계 동역학을 어떻게 유도하는가?
• RQ4 대칭성 전하의 지수적 조절이 시스템 표면에서 무한히 오래 지속되는 상관관계를 유도할 수 있는가?
• RQ5 격자 스케일의 특징이 비정역성 보존된 양을 가진 시스템에서 매크로스코픽 유체역학에 어느 정도 영향을 미치는가?

주요 결과

• 1차원에서는 주기적으로 조절된 대칭성이 유한한 미세 운동량에 의해 조절되는 확산적 상관관계 스케일링을 유도하며, 미세 길이 척도에서의 진동을 수반한다.
• 2차원 및 3차원에서는 보존된 운동량 만곡선이 닫힌 곡선 또는 표면 형태를 띠며, 격자 스케일의 특징에 의해 영향을 받는 풍부한 공간적 진동을 수반하는 초확산적 동역학을 유도한다.
• 지수적으로 조절된 대칭성의 경우, 실공간 보존된 양은 일반적인 방향에서 $r^{-1/2}$로 감쇠되며, 표면에서는 장시간 지속되는 상관관계와 내부에서는 지수 감쇠를 보인다.
• 모멘텀 공간 루프에서의 실공간 조절 감쇠는 정적위상 근사에 의해 $r^{-1/2}$ 감쇠를 따르며, 이는 방향 벡터가 루프에 수직인 점에서 발생한다.
• 비일반적인 경우나 모멘텀 공간에서의 정사각형 영역 위에서 적분하는 경우에도 감쇠는 여전히 느리며, 일부 구성에서는 $r^{-1}$ 증폭이 발생한다.
• 매개변수화된 모멘텀 공간 곡선(예: 2D에서의 쌍곡선 호) 위에서의 역푸리에 변환을 수치적으로 평가하면 복잡한 공간적 진동과 느린 감쇠가 나타나며, 이는 분석적 예측을 확인한다.