[논문 리뷰] Dynamics of annulus maps III: completeness

J. A. Sabater Iglesias, Aldo Portela외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 29.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 |d| > 1인 경우 열린 앙유의 연속적이고 전사적인 자기사상이 주기점에 대해 최대 니엘젠 클래스 완전성을 달성하는 조건을 설정한다. 니엘젠 이론, 레프셰츠 지표, 그리고 피복 공간 기법을 사용하여, 만약 사상이 완전히 불변인 본질적인 연속체(또는 전방으로 불변이고 국소적으로 연결된 것)를 보존한다면, 모든 주기점은 그 연속체의 메시된 집합 안에 포착됨을 증명한다. 핵심 결과는 완전성—즉, 각 반복 fⁿ에 대해 니엘젠 클래스의 수가 이론적 최댓값 |dⁿ − 1|에 도달한다는 것이다.

ABSTRACT

Consider a continuous surjective self map of the open annulus with degree d > 1. It is proved that the number of Nielsen classes of periodic points is maximum possible whenever f has a completely invariant essential continuum. The same result is obtained in negative degree |d| > 1 and for just forward invariant essential continua, provided that the continuum is locally connected. We also deal with the problem of wether there is a representative of each Nielsen class in the filled set of the invariant continuum. Moreover, if the map extends continuously to the boundary of the annulus and both boundary components are either attracting or repelling, the hypothesis on the existence of the invariant continuum is no longer needed for obtaining all the periodic points in the interior of the annulus.

연구 동기 및 목표

• 열린 앙유의 연속적이고 degree-d인 자기사상이 주기점에 대해 최대 니엘젠 클래스 완전성을 달성하는 조건을 규명하는 것.
• 모든 주기점의 니엘젠 클래스가 불변 본질적 연속체의 메시된 집합 안에 실현됨을 보장하는 조건을 설정하는 것.
• 커버링 사상에 국한되지 않고 일반적인 연속적이고 전사적인 사상으로까지 완전성 결과를 확장하는 것.
• 끝부분 행동(흡인/반발하는 끝)이 불변 연속체가 없더라도 완전성을 보장하는 데서의 역할을 분석하는 것.
• 구역 분해를 통해 구의 사상에 결과를 적용하여 성장률 부등식과 주기점 수를 유도하는 것.

제안 방법

• 호모토피 동치에 의해 고정점을 분류함으로써 니엘젠 이론을 사용해 서로 다른 니엘젠 클래스가 서로 다른 주기 궤도에 대응함을 보장함.
• 고정점이 각 니엘젠 클래스 내에 존재함을 증명하기 위해 불변 집합을 둘러싼 곡선에서 지표 계산을 통해 레프셰츠 고정점 이론을 적용함.
• 카라테오도리 이론을 사용해 보편 피복에서 호모토피 성질이 제어된 크로스컷과 곡선을 구성함.
• 사상을 보편 피복(R × [0,1])로 올리고, 올린 사상의 지표를 분석하여 각 니엘젠 클래스 내 고정점 존재를 증명함.
• 보편 피복을 두 개의 무한원점으로 컴actification하여 끝부분 행동을 분석하고 하고피안의 고정점 정리를 적용함.
• 호모토피 및 변형 기법을 사용해 올린 사상을 수정하여 완전성을 확보하기 위한 지표 조건을 만족시킴.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속적인 degree-d 사상이 앙유에서 주기점의 최대 수의 니엘젠 클래스를 달성하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 본질적인 연속체를 보존할 때 비커버링 사상에 대해서도 완전성이 확보될 수 있는가?
• RQ3 만약 불변 연속체가 전방으로 불변이고 국소적으로 연결되어 있을 경우, 음의 degree |d| > 1에서도 완전성 성질이 유지되는가?
• RQ4 불변 연속체가 없더라도 끝부분 행동(흡인/반발하는 끝)을 통해 완전성을 도출할 수 있는가?
• RQ5 이러한 결과는 어떻게 앙유 분해를 통해 구의 사상에 적용되어 성장률 부등식이나 주기점 수를 유도하는가?

주요 결과

• f: A → A 가 degree d > 1인 사상이고, 완전히 불변인 본질적 연속체 K를 가진다면, f는 Fill(K)에서 완전하며, 이는 fⁿ의 모든 |dⁿ − 1|개의 니엘젠 클래스가 Fill(K) 내에 실현됨을 의미한다.
• |d| > 1 이고 전방으로 불변이며 국소적으로 연결된 본질적 연속체 K를 가진다면, f는 Fill(K)에서 완전하며, f⁻¹(K) = K 조건이 필요하지 않다.
• f가 앙유의 끝부분으로 연속적으로 연장되고 양 끝이 모두 흡인하거나 모두 반발하는 경우, f는 불변 연속체가 없더라도 전체 앙유에서 완전하다.
• 완전성 결과는 성장률 부등식 lim supₙ→∞ (1/n) ln(#Fix(fⁿ)) ≥ ln|d| 를 함의하며, 이는 이러한 모든 사상에 대해 성립한다.
• S² → S² 의 degree |d| > 1인 구의 사상 f에 대해, 주기 2의 완전히 불변 궤도가 존재한다면, 모든 홀수 k에 대해 fᵏ는 최소 |dᵏ − 1|개의 고정점을 가진다.
• f: S² → S² 가 두 개의 서로소이고 단순연결된 열린 집합 U₁, U₂ 를 보존하고 f⁻¹(Uᵢ) = Uᵢ 를 만족한다면, f는 S¹ 상의 zᵈ 와 동일한 수의 주기점을 가지며, 각 n에 대해 최소 |dⁿ − 1|개의 고정점을 가진다.