[논문 리뷰] Dynamics of D-branes I. The non-Abelian Dirac-Born-Infeld action, its first variation, and the equations of motion for D-branes --- with remarks on the non-Abelian Chern-Simons/Wess-Zumino term

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 28.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 47인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 스플라인 공간으로의 Azumaya/행렬 다양체와 접속의 사상에 기반하여 비아벨 Dirac-Born-Infeld (DBI) 작용과 그 첫 번째 변분을 제시하고, 운동 방정식을 유도한다. 또한 낮은 차원의 D-brane를 위한 비아벨 Chern-Simons/Wess-Zumino (CS/WZ) 작용을 구축하고, 그 변분을 유도하여 CS/WZ 항이 운동 방정식에 일阶 비선형 항을 기여함을 보이며, DBI로부터 유도된 시스템의 구조를 유지함을 밝힌다.

ABSTRACT

In earlier works, D(1) (arXiv:0709.1515 [math.AG]), D(11.1) (arXiv:1406.0929 [math.DG]), D(11.2) (arXiv:1412.0771 [hep-th]), and D(11.3.1) (arXiv:1508.02347 [math.DG]), we have explained why a D-brane in string theory, when treated as a fundamental dynamical object, can be described by a map $φ$ from an Azumaya/matrix manifold $X^{Az}$ (cf. D-brane world-volume) with a fundamental module with a connection $(E, abla)$ (cf. Chan-Paton bundle) to the target space-time $Y$. In this sequel, we construct a non-Abelian Dirac-Born-Infeld action functional $S_{DBI}^{(Φ, g, B)}(φ, abla)$ for such pairs $(φ, abla)$. We next develop a technical tool needed to study variations of this action and apply it to derive the first variation $δS_{DBI}^{(Φ,g,B)}/δ(φ, abla)$ of $S_{DBI}^{(Φ,g,B)}$ with respect to $(φ, abla)$. The equations of motion that govern the dynamics of D-branes then follow. A complete action for a D-brane world-volume must include also the Chern-Simons/Wess-Zumino term $S_{CS/WZ}^{(C)}(φ, abla)$ that governs how the D-brane world-volume couples with the Ramond-Ramond fields $C$ on $Y$. In the current notes, a version $S^{(C,B)}_{CS/WZ}(φ, abla)$ of non-Abelian Chern-Simons/Wess-Zumino action functional for $(φ, abla)$ that follows the same guide with which we construct $S^{(Φ,g,B)}_{DBI}(φ, abla)$ is constructed for lower-dimensional D-branes (i.e. D(-1)-, D0-, D1-, D2-branes). Its first variation $δS^{(C,B)}_{CS/WZ}(φ, abla)/δ(φ, abla)$ is derived and its contribution to the equations of motion for $(φ, abla)$ follows. The current notes lay down a foundation toward the dynamics of D-branes along the line of this D-project.

연구 동기 및 목표

• Azumaya/행렬 다양체와 접속을 스플라인 공간으로 사상하는 방식을 사용하여 D-brane를 위한 비아벨 Dirac-Born-Infeld 작용 함수를 구성하는 것.
• 맵과 접속에 대한 비아벨 DBI 작용의 첫 번째 변분을 계산하는 데 필요한 기술적 프레임워크를 개발하는 것.
• DBI 및 CS/WZ 항을 포함한 총 작용에서 D-brane의 운동 방정식을 도출하는 것.
• 낮은 차원의 D-brane(D(-1)에서 D2까지)를 위한 비아벨 Chern-Simons/Wess-Zumino 작용 함수를 구성하고, 그 첫 번째 변분을 계산하는 것.
• CS/WZ 항이 운동 방정식에 미치는 기여를 분석하며, 특히 일阶 비선형 항을 생성하는 데서의 역할을 규명하는 것.

제안 방법

• 비아벨 DBI 작용은 Azumaya/행렬 다양체 (X^Az)와 그 기본 모듈 (E,∇) 에서 타겟 스플라인 공간 Y로의 사상 φ를 사용하여 구성되며, 배경장 (Φ,g,B) 와 결합된다.
• 고차 도함수와 환 준동형사상에 기반한 기술적 도구를 사용하여 (φ,∇) 에 대한 첫 번째 변분 δS_DBIG 를 도출한다.
• Chern-Simons/Wess-Zumino 작용 S_CS/WZ 는 DBI 작용과 유사하게 구성되며, 라몬-라몬 장 C 와 B-장을 포함한다.
• CS/WZ 작용의 첫 번째 변분을 계산하여, 곡률 항과 게이지 장 Fμν 및 좌표의 역상과의 비아벨 교환자 항의 기여를 드러낸다.
• 변분 표현을 단순화하기 위해 부분 적분과 곱의 법칙을 적용하였으며, 적합한 구성에서 일부 3형식 항이 사라짐을 보였다.
• DBI 및 CS/WZ 작용의 첫 번째 변분을 조합하여 전체 운동 방정식 시스템을 유도하였으며, 원래 DBI 시스템의 서명을 유지함을 확인하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Azumaya/행렬 기하학과 접속을 사용하여 D-brane를 위한 비아벨 Dirac-Born-Infeld 작용을 어떻게 일관적으로 제안할 수 있는가?
• RQ2 맵 φ 와 접속 ∇ 에 대한 비아벨 DBI 작용의 첫 번째 변분은 무엇이며, 이를 통해 운동 방정식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 낮은 차원의 D-brane(D(-1)에서 D2까지)를 위한 비아벨 Chern-Simons/Wess-Zumino 작용을 DBI 구성과 일관되게 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 CS/WZ 항이 운동 방정식에 기여하는 바는 무엇이며, 이는 DBI로부터 유도된 시스템의 구조를 유지하는가?
• RQ5 어떤 3형식 항(C(3), C(1)∧B)은 ∇ 에 대한 변분에 기여하지 않으며, 이는 무엇을 의미하는가? 이는 게이지 장과의 결합에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 비아벨 DBI 작용의 첫 번째 변분은 비가환성과 게이지 결합이 있는 설정에서 조화 사상과 최소 곡면 방정식을 일반화한 운동 방정식 시스템을 도출한다.
• Chern-Simons/Wess-Zumino 항은 운동 방정식에 일阶 비선형 미분 항을 기여하며, 특히 장 강도 Fμν 와 좌표 및 접속의 역상과의 교환자 항을 포함한다.
• C(3) 및 C(1)∧B 형식을 포함하는 항들은 ∇ 에 대한 변분에 기여하지 않으며, 적합한 구성에서 부분 적분에 의해 사라지기 때문이다.
• D-brane의 운동 방정식은 DBI 및 CS/WZ 변분의 조합으로 유도된 연립 방정식이며, CS/WZ 항이 원래 DBI 시스템의 서명을 유지함을 보였다.
• 차원 ≤2 인 D-brane를 위한 비아벨 CS/WZ 작용의 구성이 완료되었으며, 그 첫 번째 변분은 Dμφ♯(Ci), Fμν, 그리고 리만 곡률 유사 항을 포함하는 명시적 표현을 갖는다.
• 이 프레임워크는 비가환 기하학에서 D-brane 역학을 연구하는 데 기초를 마련하였으며, 해는 배경장 존재 하에서 왜곡된 조화 사상 또는 최소 곡면으로 해석될 수 있다.