[논문 리뷰] Dynamics of groups of automorphisms of character varieties and Fatou/Julia decomposition for Painlevé 6

Julio C. Rebelo, Roland K. W. Roeder|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 19.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 아핀 입체 표면으로 정의된 특성 다양체 위에서 헬로모르픽 자동형군의 역학을 연구하며, 주로 파이레베 6 방정식에 초점을 맞춘다. 군 작용에 대해 패투-줄리 분해를 도입하여, 줄리 집합이 비자명한 내부를 가지며 조밀한 궤도를 포함함을 증명한다. 또한 개방된 매개변수 집합에서 국소적으로 이산적이지 않은 동역학과 이산적인 동역학 사이의 이분법을 확립한다.

ABSTRACT

We study the dynamics of the group of holomorphic automorphisms of the affine cubic surfaces \begin{align*} S_{A,B,C,D} = \{(x,y,z) \in \mathbb{C}^3 \, : \, x^2 + y^2 + z^2 +xyz = Ax + By+Cz+D\}, \end{align*} where $A,B,C,$ and $D$ are complex parameters. We focus on a finite index subgroup $Γ_{A,B,C,D} < { m Aut}(S_{A,B,C,D})$ whose action not only describes the dynamics of Painlevé 6 differential equations but also arises naturally in the context of character varieties. We define the Julia and Fatou sets of this group action and prove that there is a dense orbit in the Julia set. In order to show that the Julia set is ``large'' we consider a second dichotomy, between locally discrete and locally non-discrete dynamics. For an open set in parameter space, $\mathcal{N} \subset \mathbb{C}^4$, we show that there simultaneously exists an open set in $S_{A,B,C,D}$ on which $Γ_{A,B,C,D}$ acts locally discretely and a second open set in $S_{A,B,C,D}$ on which $Γ_{A,B,C,D}$ acts locally non-discretely. After removing a countable union of real-algebraic hypersurfaces from $\mathcal{N}$ we show that $Γ_{A,B,C,D}$ simultaneously exhibits a non-empty Fatou set and also a Julia set having non-trivial interior. The open set $\mathcal{N}$ contains a natural family of parameters previously studied by Dubrovin-Mazzocco. The interplay between the Fatou/Julia dichotomy and the locally discrete/non-discrete dichotomy plays a major theme in this paper and seems bound to play an important role in further dynamical studies of holomorphic automorphism groups.

연구 동기 및 목표

• 파이레베 6 방정식과 관련된 특성 다양체 위에서 헬로모르픽 자동형군의 전역 역학을 분석하기 위해.
• 군 $\mathcal{G}_{A,B,C,D}$ 가 아핀 입체 표면 $S_{A,B,C,D}$ 위에서 작용할 때 패투 및 줄리 집합을 정의하고 특성화하기 위해.
• 매개변수 공간에서 패투/줄리 이분법과 국소적으로 이산적이지 않은/이산적인 동역학 이분법 간의 상호작용을 조사하기 위해.
• 매개변수의 전형적인 열린 집합에서, 패투 집합과 줄리 집합이 모두 비어 있지 않으며, 줄리 집합이 비자명한 내부를 가짐을 보여주기 위해.
• 줄리 집합 내부에 조밀한 궤도가 존재함을 증명하여, 이 집합에서 혼돈적인 역학이 발생함을 나타내기 위해.

제안 방법

• 군 $\mathcal{G}_{A,B,C,D} = \langle g_x, g_y, g_z \rangle$ 를 아핀 입체 표면 $S_{A,B,C,D}$ 의 자동형군 $\mathrm{Aut}(S_{A,B,C,D})$ 의 지수 2 부분군으로 정의한다. 여기서 $g_x = s_z \circ s_y$ 와 같이 정의되며, $s_x, s_y, s_z$ 는 좌표축에 평행한 직선을 통해 정의된 반사이다.
• 군 작용 하에서 정상가족 행동을 보이는 점들의 집합으로서 패투 집합 $\mathcal{F}_{A,B,C,D}$ 와 그 여집합으로서 줄리 집합 $\mathcal{J}_{A,B,C,D}$ 를 정의한다.
• 국소적으로 이산적이지 않은 동역학과 국소적으로 이산적인 동역학 개념을 도입하여, 군의 작용이 다른 동역학적 행동을 보이는 영역을 식별하는 두 번째 이분법을 정의한다.
• 국소적으로 이산적이지 않은 동역학 영역과 이산적인 동역학 영역의 공통 경계로서 위상 차원 3인 불변 집합 $\mathscr{B}_{A,B,C,D}$ 를 구성한다.
• 정리 H 를 적용하여, 원점 근처 또는 두브로빈-마조코 매개변수 근처에서는 군 원소의 특정 교환자들이 쌍곡성과 수축 조건을 만족함을 보여, 표면 상의 구들이 비유계 패투 성분을 피하게 한다.
• 매개변수 공간 $\mathcal{P} \subset \mathbb{C}^4$ 에서 가산 개의 실대수기하 초곡면의 합집합을 제거함으로써, 패투 집합과 줄리 집합이 모두 비어 있지 않으며, 줄리 집합이 비자명한 내부를 가짐을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 $\mathcal{G}_{A,B,C,D}$ 가 아핀 입체 표면 $S_{A,B,C,D}$ 위에서 작용할 때, 일반적인 매개변수에서 비어 있지 않은 줄리 집합이 비자명한 내부를 가지는가?
• RQ2 줄리 집합이 군 작용 하에서 조밀한 궤도를 포함할 수 있는가?
• RQ3 매개변수 공간에서 패투/줄리 이분법과 국소적으로 이산적이지 않은/이산적인 동역학 이분법은 어떻게 상호작용하는가?
• RQ4 이산적이고 비이산적인 동역학 영역 간 경계의 위상적 구조는 어떠한가?
• RQ5 마크오프, 피카르, 두브로빈-마조코 가족과 같은 특수한 매개변수 근처에서는 역학이 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 매개변수의 개방된 집합 $\mathcal{P} \subset \mathbb{C}^4$ 에 대해, 군 $\mathcal{G}_{A,B,C,D}$ 는 아핀 입체 표면 $S_{A,B,C,D}$ 의 열린 부분집합에서 국소적으로 이산적이며, 이와 동시에 국소적으로 이산적이지 않은 동역학을 보이며, 이들의 공통 경계에는 위상 차원 3인 불변 집합 $\mathscr{B}_{A,B,C,D}$ 가 포함되어 있다.
• 매개변수 공간 $\mathcal{P}$ 에서 가산 개의 실대수기하 초곡면의 합집합을 제거한 후, 군 $\mathcal{G}_{A,B,C,D}$ 는 비어 있지 않은 패투 집합과 비자명한 내부를 가진 줄리 집합을 가진다.
• 줄리 집합 $\mathcal{J}_{A,B,C,D}$ 는 조밀한 궤도를 포함하며, 이는 이 집합에서 혼돈적인 역학이 발생함을 나타낸다.
• 원점 근처 및 두브로빈-마조코 매개변수 근처에서는 생성자들의 특정 교환자들의 동역학이 쌍곡성과 수축 조건을 만족함을 보여, 표면 상의 구들이 비유계 패투 성분을 피함을 보장한다.
• 매개변수 공간 $\mathcal{P} \setminus \mathcal{H}$ 의 모든 매개변수에 대해, 열린 집합 $U$ 에서 군 $\mathcal{G}_{A,B,C,D}$ 는 국소적으로 비이산적으로 작용하며, 이로 인해 $U \subset \mathcal{J}_{A,B,C,D}$ 가 성립한다.
• 패투/줄리 이분법과 이산/비이산 동역학 이분법 간의 상호작용은 동역학의 핵심이며, 향후 복소 표면 위의 헬로모르픽 자동형군 연구에서 핵심적인 역할을 할 것으로 기대된다.