[논문 리뷰] Dynamics of holomorphic correspondences on Riemann Surfaces

Tien‐Cuong Dinh, Lucas Kaufmann외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 30.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 14인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 전방 및 후방 위상 차수 $d_1 = d_2$일 때, 콪 pact 리만 곡면 위의 헬로모르픽 대응에 대해 두 개의 정규화된 불변 확률 측도 $\mu^{+}$ 및 $\mu^{-}$의 존재를 비약한 모odularity 조건 하에 증명한다. 스펙트럼 성질을 스토브올 공간에서 활용하여 이 대칭 케이스에서 스펙트럼 갭이 없는 문제를 극복함으로써, 일반적인 점의 역상과 상이의 지오데식이 각각 $\mu^{+}$ 및 $\mu^{-}$로 지수적으로 등분됨을 증명한다.

ABSTRACT

We study the dynamics of holomorphic correspondences $f$ on a compact Riemann surface $X$ in the case, so far not well understood, where $f$ and $f^{-1}$ have the same topological degree. Under a mild and necessary condition that we call non weak modularity, $f$ admits two canonical probability measures $μ^+$ and $μ^-$ which are invariant by $f^*$ and $f_*$ respectively. If the critical values of $f$ (resp. $f^{-1}$) are not periodic, the backward (resp. forward) orbit of any point $a \in X$ equidistributes towards $μ^+$ (resp. $μ^-$), uniformly in $a$ and exponentially fast.

연구 동기 및 목표

• 전방 및 후방 위상 차수가 동일한 경우, 이전에 잘 이해되지 않았던 콱 pact 리만 곡면 위의 헬로모르픽 대응의 역학을 다루기 위해.
• 비약한 모odularity 조건 하에 두 개의 정규화된 불변 확률 측도 $\mu^{+}$ 및 $\mu^{-}$의 존재를 확립하기 위해.
• 일반적인 점의 역방향 및 전방 궤도가 각각 $\mu^{+}$ 및 $\mu^{-}$로 지수적으로 등분됨을 증명하기 위해.
• 대칭 차수 케이스에서 스펙트럼 갭이 없는 문제를 극복하기 위해 스토브올 공간에서의 스펙트럼 방법을 개발하기 위해.

제안 방법

• 측도 구성에 장애가 되는 모듈라 유사 행동을 차단하기 위해 비약한 모odularity 개념을 도입한다.
• 미분 형식과 측도 위에서의 당김 및 밀림 작용 $f^*$ 및 $f_*$를 정의하고, 이를 통해 정규화된 반복의 약한 극한을 이용해 정규화된 측도 $\mu^{+}$ 및 $\mu^{-}$를 정의한다.
• 스토브올 공간 $W^{1,2}$에서의 연산자 스펙트럼 성질을 사용하여 $\frac{1}{d^n}(f^n)^*\alpha \to c_\alpha \mu^{+}$ 및 $\frac{1}{d^n}(f^n)_*\alpha \to c_\alpha \mu^{-}$의 지수 수렴을 확립한다.
• 파인카레-스토브올 부등식 및 지수 감쇠 추정을 사용하여 반복 함수의 초위상 노름을 유계로 제한함으로써 균일하고 빠른 수렴을 확보한다.
• 홀더 연속성 추정 및 연산자 노름 통제를 적용하여 등분 속도에 대한 정량적 추정을 유도한다.
• 측도 $\mu^{+}$ 및 $\mu^{-}$가 각각 $f^*$ 및 $f_*$에 대해 불변임을 활용하여 문제를 전이 연산자의 스펙트럼 행동 분석으로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상 차수 $d_1 = d_2$일 때, 리만 곡면 위의 헬로모르픽 대응에 대해 정규화된 불변 측도를 구성할 수 있는가?
• RQ2 대칭 차수 케이스에서 두 개의 서로 다른 불변 측도 $\mu^{+}$ 및 $\mu^{-}$의 존재를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 일반적인 점의 역상과 상이 $\mu^{+}$ 및 $\mu^{-}$로 등분되는 속도는 얼마나 빠른가?
• RQ4 스펙트럼 갭이 없는 시스템에 대해 스토브올 공간에서의 스펙트럼 방법을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 비약한 모odularity 조건이 정규화된 측도의 유일성 및 불변성 확보에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 비약한 모odularity 조건 하에, $f^*$ 및 $f_*$에 대해 각각 불변인 두 개의 정규화된 확률 측도 $\mu^{+}$ 및 $\mu^{-}$가 존재하며, $f^*\mu^{+} = d\mu^{+}$ 및 $f_*\mu^{-} = d\mu^{-}$를 만족한다.
• 임의의 매끄러운 $(1,1)$-형식 $\alpha$에 대해, 정규화된 당김 및 밀림이 $n \to \infty$일 때 각각 $c_\alpha \mu^{+}$ 및 $c_\alpha \mu^{-}$로 지수적으로 수렴한다.
• 만약 $f$의 임계 값 중 어느 것도 순환적이지 않다면, 임의의 점 $a \in X$의 역상은 $\mu^{+}$로 지수 속도로 등분되며, $a$에 대해 균일하게 성립한다.
• 등분 속도는 $\left|\left\langle d^{-n}(f^n)^*\delta_a - \mu^{+}, \varphi \right\rangle\right| \leq A^{+}_\beta \|\varphi\|_{\mathcal{C}^\beta} \lambda_+^{\beta n}$ ($0 < \lambda_+ < 1$)로 정량화된다.
• 증명은 스토브올 공간 $W^{1,2}$에서 $\frac{1}{d}f^*$ 및 $\frac{1}{d}f_*$의 스펙트럼 성질에 기반하며, 스펙트럼 갭이 없는 문제를 회피하는 방법을 가능하게 한다.
• 비약한 모odularity 조건이 없으면 결과가 성립하지 않으며, 이는 정규화된 측도 존재에 있어 필수적이고 충분한 조건임을 보여준다.