[논문 리뷰] Dynamics of meromorphic maps with small topological degree II: Energy and invariant measure

Jeffrey Diller, Romain Dujardin외 1명|ArXiv.org|2008. 05. 25.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 7인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 카플러 표면 위의 유리형 사상에서 위상적 차수가 작을 때($\lambda_2 < \lambda_1$), 기하학적 와이드 tích분 $T^+$와 $T^-$의 불변 코어를 사용하여 정규화된 혼합 불변 측도의 존재를 확립한다. 이 측도는 자연스러운 에너지 조건 하에서 잘 정의되며, 다중극 집합에 질량을 부여하지 않는다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

We continue our study of the dynamics of meromorphic mappings with small topological degree on a compact Kähler surface $X$. Under general hypotheses we are able to construct a canonical invariant measure which is mixing, does not charge pluripolar sets and admits a natural geometric description. Our hypotheses are always satisfied when $X$ has Kodaira dimension zero, or when the mapping is induced by a polynomial endomorphism of $\mathbf{C}^2$. They are new even in the birational case. We also exhibit families of mappings where our assumptions are generically satisfied and show that if counterexamples exist, the corresponding measure must give mass to a pluripolar set.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 카플러 표면 위의 위상적 차수가 작은 유리형 사상에 대해 정규화된 불변 측도 $\mu_f = T^+ \wedge T^-$를 정의하는 것.
• 자연스러운 에너지 및 적분 조건 하에서 이 측도가 불변적이며 혼합적이며 기하학적으로 의미 있는지를 확립하는 것.
• 와이드 곱 $T^+ \wedge T^{-}$가 잘 정의된 확률 측도로 존재함을 보장하는 검증 가능한 동역학적 기준을 제공하는 것.
• 이러한 측도의 존재에 대한 반례는 반드시 다중극 집합에 질량을 부여해야 한다는 것을 보여주는 것.
• 기존의 비라시오널 사상에 대한 결과를 더 넓은 위상적 차수가 작은 사상의 클래스로 일반화하며, 비라시오널 경우조차도 새로운 결과를 도출하는 것.

제안 방법

• 만일 $T_j^\pm \to T^\pm$가 복소 다중극 이론적 의미에서 수렴한다면, $T_j^+ \wedge T_j^- \to \mu_f$가 되도록 와이드 곱 $T^+ \wedge T^-$를 연속성 조건을 통해 정의한다.
• 에너지 조건 $T^+ \in \mathcal{E}^p(T^-, \omega^+)$를 만족하는 $p > 1$가 존재할 경우, $\mu_f$의 존재를 충분조건으로 사용한다.
• 특히 구드지와 제리아의 컴팩트 카플러 기하학에서의 복소 면적-암페르 연산자 이론을 활용한 복소 다중극 동역학 이론을 적용한다.
• 불변 측도 $\mu_f$를 $T^+$의 레이어 구조와 $T^-$의 직조 구조의 기하학적 교차로 특성화한다.
• 특정 사상의 가족(예: $\mathbb{P}^2$ 위의 유리형 사상)의 동역학을 분석하여 그린 함수의 잠재적 이론적 추정을 통해 에너지 조건을 검증한다.
• 연분수 근사와 구면에서의 그린 함수의 평균값 추정을 사용하여, 특정 무리수 각운동수에 대해 $G^\pm \in \mathcal{E}^p(T^\mp, \omega^\pm)$임을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불변 코어 $T^+$와 $T^-$의 와이드 곱 $T^+ \wedge T^-$가 잘 정의된 확률 측도로 정의될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 결과로 얻어진 측도 $\mu_f$가 불변성과 혼합성 등의 좋은 동역학적 성질을 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 에너지 조건 $T^+ \in \mathcal{E}^p(T^-, \omega^+)$가 어떤 $p > 1$에 대해 성립함을 보장하는 동역학적 기준은 무엇인가?
• RQ4 불변 측도 $\mu_f$는 $T^+$와 $T^-$의 레이어 구조와 직조 구조의 교차로 기하학적으로 해석될 수 있는가?
• RQ5 이러한 측도의 존재에 대한 반례가 존재한다면, 반드시 다중극 집합에 질량을 부여해야 하는가?

주요 결과

• 에너지 조건 $T^+ \in \mathcal{E}^p(T^-, \omega^+)$가 어떤 $p > 1$에 대해 만족될 경우, 정규화된 불변 측도 $\mu_f = T^+ \wedge T^{-}$는 잘 정의된 확률 측도로서 존재한다.
• 측도 $\mu_f$는 $f$에 대해 불변적이며 혼합적이며, 다중극 집합에 질량을 부여하지 않는다.
• 위상적 차수가 작은 비라시오널 사상에서 $\lambda_1 > 1$일 경우, 동일한 에너지 조건 하에서 측도 $\mu_f$는 잘 정의되고 양호한 동역학적 성질을 갖는다.
• $\mathbb{P}^2$ 위의 유리형 사상에서 불변 직선 위의 무리수 각운동수를 갖는 경우, 거의 모든 매개변수에 대해 $G^\pm \in \mathcal{E}^p(T^\mp, \omega^\pm)$가 성립하여 $\mu_f$의 존재를 보장한다.
• $T^+ \in L^1(T^-)$일 경우, 측도 $\mu_f$는 잘 정의되며, $a = i$, $b = -s e^{2\pi i\theta}$, $c = i/s$의 예시에서처럼 혼합성을 보일 수 있다.
• 정리 2.3의 대안은 $\mu_f$가 다중극 집합 $\{G^+ + G^- = -\infty\}$에 지지된다거나, $f$가 유한한 동역학적 에너지를 갖는다 — 후자는 일반적으로 성립할 것으로 예상된다.