[논문 리뷰] Dynamics of metrics in measure spaces and their asymptotic invariants

A. M. Vershik|arXiv (Cornell University)|2009. 12. 10.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 6인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 측도를 보존하는 군 작용에 대한 일반화된 불변 측도로 스케일링 엔트로피를 도입하며, 기존의 가측 분할 대신 칸토로비치 거리에 의한 반복적 거리 체계를 사용한다. 스케일링 엔트로피가 점점 커지는 기하학적 복잡성을 캡처함을 입증하며, ℤ^d에서의 랜덤 환경 내 랜덤 워크의 경우 스케일링 엔트로피가 n^{d/2} 비율로 증가함을 보이며, d > 4일 때 모든 시스템이 버누울리일지라도 비이sov모르픽 필터레이션을 구분할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We discuss the Kolmogorov's entropy and Sinai's definition of it; and then define a deformation of the entropy, called {\it scaling entropy}; this is also a metric invariant of the measure preserving actions of the group, which is more powerful than the ordinary entropy. To define it, we involve the notion of the $ε$-entropy of a metric in a measure space, also suggested by A. N. Kolmogorov slightly earlier. We suggest to replace the techniques of measurable partitions, conventional in entropy theory, by that of iterations of metrics or semi-metrics. This leads us to the key idea of this paper which as we hope is the answer on the old question: what is the natural context in which one should consider the entropy of measure-preserving actions of groups? the same question about its generalizations--scaling entropy, and more general problems of ergodic theory. Namely, we propose a certain research program, called {\it asymptotic dynamics of metrics in a measure space}, in which, for instance, the generalized entropy is understood as {\it the asymptotic Hausdorff dimension of a sequence of metric spaces associated with dynamical system.} As may be supposed, the metric isomorphism problem for dynamical systems as a whole also gets a new geometric interpretation.

연구 동기 및 목표

• 에르고딕 이론에서 엔트로피와 그 일반화에 대한 자연스러운 기하학적 프레임워크가 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 가측 분할을 반복적 거리 체계로 대체하여 엔트로피 불변량을 정의하는 기초를 마련하기 위해.
• 특히 영 엔트로피를 가진 시스템에 대해 코모고로프 엔트로피보다 더 강력한 불변량으로 스케일링 엔트로피를 확립하기 위해.
• 점점 커지는 거리의 동역학을 통해 메트릭 이sov모르피즘 문제에 기하학적 의미를 부여하기 위해.
• 특히 랜덤 환경 내 랜덤 워크의 맥락에서, 거리 반복으로 유도된 점근적 불변량을 통해 필터레이션과 동역적 시스템을 분류하기 위해.

제안 방법

• 코모고로프의 이전 개념을 활용해 메트릭 측도 공간의 ε-엔트로피를 정의함으로써 스케일링 엔트로피의 기초를 마련한다.
• 초기 허용 가능한 거리 ρ로부터 출발하여, 분할 원소 위의 조건부 측도 사이의 칸토로비치 거리에 의해 반복적 세미-메트릭 {ρₙ}의 수열을 구성한다.
• 이 메트릭 수열의 동역학을 이용해 점근적 불변량(예: 스케일링 엔트로피)을 추출함으로써 시스템의 장기적 기하학적 행동을 반영한다.
• 특히 ℤ^d에서 i.i.d. 베르누이 환경을 가진 랜덤 워크에서 발생하는 필터레이션에 대해 반복적 거리 체계를 적용한다.
• 메트릭 수열의 점근적 행동을 분석하여 표준성 판단: 수렴이 퇴화된 메트릭으로 이르면 필터레이션이 표준(즉, 버누울리)임을 의미한다.
• d차원 격자에 대해 n^{d/2}와 등가인 수열 {cₙ}을 사용해 스케일링 엔트로피를 정규화함으로써 군의 성장과 기하학적 스케일링을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에르고딕 이론에서 엔트로피와 그 일반화를 정의하기 위한 자연스러운 기하학적 프레임워크는 무엇인가?
• RQ2 측도 공간 내 메트릭의 동역학이 엔트로피 이론의 기초로 가측 분할을 어떻게 대체할 수 있는가?
• RQ3 스케일링 엔트로피는 시스템이 버누울리일지라도 비이sov모르픽 필터레이션을 구분할 수 있는가?
• RQ4 랜덤 워크 과정에서의 반복적 메트릭 수열이 ℤ^d에서 어떻게 점근적으로 행동하는가?
• RQ5 랜덤 워크 필터레이션에서 정규화 수열 {cₙ}의 성장률은 격자의 차원 d와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 스케일링 엔트로피는 코모고로프 엔트로피보다 더 강력한 불변량이며, 영 엔트로피를 가진 시스템을도 구분할 수 있다.
• 반복적 메트릭 수열 {ρₙ}이 퇴화된 메트릭으로 수렴하는 것은 필터레이션이 표준(즉, 버누울리)일 때이고, 오직 그 때에만 성립하며, 이는 표준성에 대한 기하학적 기준을 제공한다.
• ℤ^d에서의 랜덤 환경 내 랜덤 워크의 경우 스케일링 엔트로피는 n^{d/2} 비율로 증가하며, 정규화 수열 {cₙ}은 n^{d/2}와 등가이다.
• 랜덤 워크의 과거 필터레이션은 서로 다른 차원 d에 대해 비이sov모르픽이며, d > 4이면서 모두 버누울리일지라도 마찬가지다.
• 이 결과는 d > 4일 때 모든 시스템이 버누울리이더라도 서로 다른 차원의 격자에서의 마코프 스피드는 상호로 역으로 인코딩될 수 없다는 것을 시사한다.
• 메트릭의 점근적 동역학은 메트릭 이sov모르피즘 문제에 기하학적 의미를 제공하며, 이는 극한 메트릭 공간의 하우스도르프 차원과 연결된다.