[논문 리뷰] Dynamics of postcritically bounded polynomial semigroups

Hiroki Sumi|ArXiv.org|2007. 03. 20.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 39인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 유계 평면 후행비판집합을 가진 다항식 세미군집의 역학을 조사하며, 잼라 집합의 연결 성분들이 포함 관계로 정렬됨을 증명하고, 유한하거나 가чёт 무한 개의 성분을 가진 예제를 구성한다. 비연결된 잼라 집합에서 비가산 많은 쿼드라클라인의 존재를 증명하고, 무작위 잼라 집합이 거의 확실히 조르드 곡선이지만 쿼드라클라인이 아니라는 것을 보이며, 고전적 유리형 사상 외의 새로운 현상을 다항식 세미군집 역학에서 드러낸다.

ABSTRACT

We investigate the dynamics of semigroups generated by a family of polynomial maps on the Riemann sphere such that the postcritical set in the complex plane is bounded. Moreover, we investigate the associated random dynamics of polynomials. We show that for such a polynomial semigroup, if $A$ and $B$ are two connected components of the Julia set, then one of $A$ and $B$ surrounds the other. Moreover, we show that for any $n\in \Bbb{N} \cup \{\aleph_{0}\} ,$ there exists a finitely generated polynomial semigroup with bounded planar postcritical set such that the cardinality of the set of all connected components of the Julia set is equal to $n.$ Furthermore, we show that under a certain condition, a random Julia set is almost surely a Jordan curve, but not a quasicircle. Many new phenomena of polynomial semigroups and random dynamics of polynomials that do not occur in the usual dynamics of polynomials are found and systematically investigated.

연구 동기 및 목표

• 후행비판집합이 평면에서 유계인 다항식 세미군집의 잼라 집합의 위상적 구조를 분석하기.
• 비연결된 잼라 집합에서 섬유별 역학과 쿼시컨formal 구조를 조사하기.
• 유계 후행비판집합을 가진 컴팩트 생성, (반)하이퍼볼릭 다항식 세미군집을 분류하기.
• 다항식의 무작위 역학을 연구하고 무작위 잼라 집합의 거의 확실한 성질을 특성화하기.
• 잼라 집합의 연결 성분 수가 주어진 카디널리티를 가진 다항식 세미군집의 예를 구성하기.

제안 방법

• 잼라 집합이 비연결일 경우, 섬유 번들의 균일한 섬유별 쿼시컨포멀 수리술을 사용하여 비가산 많은 쿼드라클라인을 구성하기.
• 위상적 보조정리와 유리식 세미군집의 성질을 적용하여 잼라 집합 내 연결 성분들의 둘러싸임 순서 분석하기.
• 역행 방향 자기유사성과 컴팩트성 추론을 활용하여 후행비판집합의 구조와 잼라 집합과의 관계 연구하기.
• 함수의 복합과 정규가운데를 사용하여 세미군집 역학과 하이퍼볼릭 조건 분석하기.
• 비판값과 역학을 제어할 수 있는 다항식의 명시적 가족을 구성하여 원하는 잼라 집합의 구조 실현하기.
• 테이히뮐러 이론과 무작위 동역학계의 결과를 활용하여 무작위 잼라 집합의 거의 확실한 성질 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 후행비판집합이 유계인 다항식 세미군집의 잼라 집합의 연결 성분들은 위상적으로 어떻게 정렬되어 있는가?
• RQ2 어떤 주어진 유한하거나 가чёт 무한 개의 연결 성분을 가진 다항식 세미군집을 구성할 수 있는가?
• RQ3 잼라 집합이 비연결일 경우 그 구조는 어떠한가? 그리고 그 안에 어떤 쿼시컨포멀 구조가 존재하는가?
• RQ4 무작위 잼라 집합이 거의 확실히 조르드 곡선이지만 쿼드라클라인이 아니라는 조건은 무엇인가?
• RQ5 유계 평면 후행비판집합을 가진 컴팩트 생성, (반)하이퍼볼릭 다항식 세미군집의 분류는 무엇인가?

주요 결과

• 후행비판집합이 유계인 다항식 세미군집의 잼라 집합의 임의의 두 연결 성분에 대해, 하나가 다른 하나를 둘러싸며 총 둘러싸임 순서가 성립한다.
• 모든 카디널리티 $ n \in \mathbb{N} \cup \{\aleph_0\} $ 에 대해, 평면 후행비판집합이 유계인 유한 생성 다항식 세미군집이 존재하며, 그 잼라 집합은 정확히 $ n $ 개의 연결 성분을 가진다.
• 잼라 집합이 비연결일 경우, 칸토어 집합에 의해 매개변수화되고 상호소거된 비가산 많은 쿼드라클라인이 존재하며, 균일한 변형률을 가진다.
• 일부 조건 하에서, 무작위 잼라 집합은 거의 확실히 조르드 곡선이지만 쿼드라클라인이 아니며, 이는 무작위 복소 동역학에서 새로운 현상을 드러낸다.
• 컴팩트 생성, (반)하이퍼볼릭 다항식 세미군집의 유계 평면 후행비판집합에 대한 완전한 분류가 제공된다.
• 이 논문은 개별 생성자가 하이퍼볼릭일지라도 이러한 세미군집의 잼라 집합이 비연결일 수 있음을 증명하며, 고전적 역학에 없던 새로운 역학적 행동을 보여준다.