[논문 리뷰] Dynamics of postcritically bounded polynomial semigroups I: connected components of the Julia sets

Hiroki Sumi|arXiv (Cornell University)|2008. 11. 22.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 28인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 평면에서 유계인 후행비판집합을 가진 다항식 세미군집의 역학을 조사하며, 조르지 집합의 연결 성분들이 '둘러싸기' 관계에 의해 계층적으로 정렬됨을 증명한다—한 성분이 다른 성분을 둘러싸는 방식이다. 이는 구조적 제약을 초래하며, 각 편의 성분은 단순 또는 이重 연결이며, 조르지 집합은 균일하게 완전하다. 연결 성분의 수에 대한 상한을 확립하고, 임의의 주어진 유한 또는 가чёт 무한 기수를 갖는 예를 구성함으로써, 고전적 다항식 역학에 존재하지 않는 새로운 현상을 드러낸다.

ABSTRACT

We investigate the dynamics of semigroups generated by a family of polynomial maps on the Riemann sphere such that the postcritical set in the complex plane is bounded. The Julia set of such a semigroup may not be connected in general. We show that for such a polynomial semigroup, if $A$ and $B$ are two connected components of the Julia set, then one of $A$ and $B$ surrounds the other. From this, it is shown that each connected component of the Fatou set is either simply or doubly connected. Moreover, we show that the Julia set of such a semigroup is uniformly perfect. An upper estimate of the cardinality of the set of all connected components of the Julia set of such a semigroup is given. By using this, we give a criterion for the Julia set to be connected. Moreover, we show that for any $n\in \Bbb{N} \cup \{\aleph_{0}\} ,$ there exists a finitely generated polynomial semigroup with bounded planar postcritical set such that the cardinality of the set of all connected components of the Julia set is equal to $n.$ Many new phenomena of polynomial semigroups that do not occur in the usual dynamics of polynomials are found and systematically investigated.

연구 동기 및 목표

• 후행비판집합이 평면에서 유계인 다항식 세미군집의 조르지 집합의 위상적 구조를 분석하는 것.
• 이러한 세미군집의 역학이 고전적 유리형 또는 다항식 역학과 어떻게 다름을 이해하는 것.
• 후행비판집합의 유계성 하에서 편의 및 조르지 집합의 연결성 성질을 특성화하는 것.
• 조르지 집합의 연결성 기준을 설정하고, 연결 성분의 수에 상한을 정하는 것.
• 주어진 기수 n ∈ ℕ ∪ {ℵ₀}에 대해 정확히 n개의 연결 성분을 갖는 유한 생성 다항식 세미군집을 구성하는 것.

제안 방법

• 리만 구면 위의 다항식 가족에 의해 생성되는 세미군집을 정의한다.
• 유계 후행비판집합 세미군집의 개념을 도입하며, 유한한 후행비판집합이 ℂ 내에서 유계임을 의미한다.
• 둘러싸기 순서 성질을 사용: 조르지 집합의 임의의 두 연결 성분 A와 B에 대해, 하나가 다른 것을 둘러싸야 한다.
• 역행 자기유사성과 반복함수계 기법을 적용하여 조르지 집합의 구조를 분석한다.
• 위상적 및 역학적 제약 조건을 이용해 조르지 집합의 균일한 완전성을 확립한다.
• 고정점과 제어된 임계값을 갖는 다항식의 변형을 통해 구체적인 예를 구성함으로써, 원하는 모든 기수의 성분을 실현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 후행비판집합이 유계인 다항식 세미군집에서 조르지 집합의 연결 성분들은 위상적으로 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 이러한 세미군집에서 편의 성분의 가능한 연결성 유형은 무엇인가?
• RQ3 조르지 집합이 비연결일 수 있지만 여전히 성분들 사이에 체계적인 계층 구조를 유지할 수 있는가?
• RQ4 이러한 세미군집에서 조르지 집합의 연결 성분 수에 대한 상한은 무엇인가?
• RQ5 주어진 기수 n ∈ ℕ ∪ {ℵ₀}에 대해, 정확히 n개의 연결 성분을 갖는 유한 생성 다항식 세미군집이 존재하는가?

주요 결과

• 후행비판집합이 유계인 다항식 세미군집의 조르지 집합의 임의의 두 연결 성분 A와 B에 대해, 반드시 하나가 다른 것을 둘러싸야 하며, 이는 계층적 순서를 확립한다.
• 편의 집합의 각 연결 성분은 단순 또는 이중 연결이며, 더 높은 연결성은 배제된다.
• 이러한 세미군집의 조르지 집합은 균일하게 완전하다. 즉, 고립점이 없고 강한 위상적 두께를 갖는다.
• 조르지 집합의 연결 성분 수에 대한 상한이 동역학 및 임계 구조에 따라 확립된다.
• 모든 n ∈ ℕ ∪ {ℵ₀}에 대해, 평면에서 유계인 후행비판집합을 갖는 유한 생성 다항식 세미군집이 존재하며, 그 조르지 집합은 정확히 n개의 연결 성분을 갖는다.
• 논문은 고정점과 제어된 임계값을 갖는 다항식의 변형을 통해 이러한 예를 명시적으로 구성한다.