[논문 리뷰] Dynamics of rigid bodies in a two dimensional incompressible perfect fluid

Olivier Glass, Christophe Lacave외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 19.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2차원 비압축성 완전 유체 내 다수의 강체의 역학을 유체의涡도와 순환에 의존하는 계수를 가진 두 번째 차수의 상미분방정식(OED)으로 재구성한다. 이는 압력에 대한 직접적 의존성을 제거한 것이다. 주요 기여는 추가 질량으로 인한 기하학적 운동(지오데식 운동)과 Kutta-Joukowski 양력의 일반화된 고전적 각운동력 효과를 포함한 지오데식 운동과 고전적 각운동력 효과를 규명한 것이다. 또한, 강체 운동과 순환에 의해 유도된 잠재류 및 무회전류에 의해 매개되는 상호작용 항목을 밝혀냈다.

ABSTRACT

We consider the motion of several rigid bodies immersed in a two-dimensional incompress-ible perfect fluid, the whole system being bounded by an external impermeable fixed boundary. The fluid motion is described by the incompressible Euler equations and the motion of the rigid bodies is given by Newton's laws with forces due to the fluid pressure. We prove that, for smooth solutions, Newton's equations can be recast as a second-order ODE for the degrees of freedom of the rigid bodies with coefficients depending on the fluid vorticity and on the circulations around the bodies, but not anymore on the fluid pressure. This reformulation highlights geodesic aspects linked to the added mass effect, gyroscopic features generalizing the Kutta-Joukowski-type lift force, including body-body interactions through the potential flows induced by the bodies' motions, body-body interactions through the irrotational flows induced by the bodies' circulations, and interactions between the bodies and the fluid vorticity.

연구 동기 및 목표

• 유체의 압력에 직접적으로 의존하지 않는 2차원 비압축성 완전 유체 내 다수의 강체에 대한 축소된 역학계를 유도하는 것.
• 유체의涡도와 강체 주위의 순환에 의한 강체 역학에 미치는 영향을 규명하는 것.
• 추가 질량으로 인한 지오데식 운동과 일반화된 양력력(양력의 일반화)을 포함한 기하학적 구조를 드러내는 것.
• 운동과 순환에 의해 유도된 잠재류 및 무회전류를 통해 매개되는 강체-강체 상호작용을 분석하는 것.
• 부드러운 해에 대해 유체-고체 연립계의 수학적으로 엄밀한 ODE 형태를 수립하는 것.

제안 방법

• 유체 영역과 고체 경계에서 불투과 조건을 만족하는 비압축성 오일러 방정식을 통해 유체 운동을 기술한다.
• 고체 운동을 뉴턴의 법칙을 사용하여 기술하며, 고체 경계에서의 유체 압력으로부터 유도된 힘을 적용한다.
• 형상 미분과 스트림 함수 기법을 적용하여 유체 속도장의 형상 도함수를 고체의 위치와 자세에 대해 계산한다.
• 조화함수와 스트림 함수의 법선 및 탄성 도함수를 포함하는 경계 적분을 사용하여 축소된 ODE의 계수 표현식을 유도한다.
• 레이놀즈 이동 정리와 부분 적분을 적용하여 순환 상수의 변화와 유체 속도 도함수 간의 관계를 규명한다.
• 뉴턴의 운동 방정식을 유체의涡도와 순환에만 의존하는 계수를 가지는 두 번째 차수의 ODE로 재구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 비압축성 유체 내 강체의 뉴턴 운동 방정식은 유체의 압력에 의존하지 않는 두 번째 차수의 ODE로 재구성할 수 있는가?
• RQ2 유체의涡도와 강체 주위의 순환은 축소된 시스템에서 효과적인 질량과 고전적 각운동력 효과에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 유체-구조 상호작용에서 지오데식 운동이나 일반화된 양력력 등의 기하학적 구조는 어떻게 드러나는가?
• RQ4 운동과 순환에 의해 유도된 잠재류 및 무회전류를 통해 강체 간의 상호작용은 어떻게 발생하는가?
• RQ5 조화함수의 형상 도함수는 유체가 고체 운동에 어떻게 반응하는지를 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 유체의 압력이 운동 방정식에서 제거되었으며, 강체의 자유도에 대한 두 번째 차수의 ODE로 시스템이 재구성되었다.
• ODE의 계수는 압력장이 아니라 유체의涡도와 강체 주위의 순환에 명시적으로 의존한다.
• 잠재류 모드에서의 유체 운동 에너지로 인해 추가 질량 효과로 인한 지오데식 구조가 나타난다.
• 순환과 강체 간 상대 운동에 따라 일반화된 고전적 Kutta-Joukowski 양력력을 일반화한 고전적 각운동력 효과가 나타난다.
• 각 강체의 운동과 순환에 의해 유도된 잠재류의 상호 영향과 무회전류의 영향을 통해 강체-강체 상호작용이 기술된다.
• 스트림 함수의 형상 도함수는 스트림 함수의 법선 도함수와 고체 경계의 속도를 포함하는 경계 적분으로 표현된다.