[논문 리뷰] Dynamics of SIR model with vaccination and heterogeneous behavioral response of individuals modeled by the Preisach operator

Jana Kopfová, Petra Nábělková외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 08.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전염병에 대한 이질적인 개인의 행동 반응을 Preisach 히스테리시스 연산자를 사용하여 확장한 고전적 SIR 모델을 제안하며, 감염력에 따라 변화하는 동적 예방접종률을 가능하게 한다. 시스템이 감염 없음 평형점 또는 편재성 평형점 집합으로 전역 수렴하는 조건을 확립하였고, 히스테리시스 연산자의 자연스러운 볼록성 가정 하에 주기적 궤도는 배제된다.

ABSTRACT

We study global dynamics of an SIR model with vaccination, where we assume that individuals respond differently to dynamics of the epidemic. Their heterogeneous response is modeled by the Preisach hysteresis operator. We present a condition for the global stability of the infection-free equilibrium state. If this condition does not hold true, the model has a connected set of endemic equilibrium states characterized by different proportion of infected and immune individuals. In this case, we show that every trajectory converges either to an endemic equilibrium or to a periodic orbit. Under additional natural assumptions, the periodic attractor is excluded, and we guarantee the convergence of each trajectory to an endemic equilibrium state. The global stability analysis uses a family of Lyapunov functions corresponding to the family of branches of the hysteresis operator.

연구 동기 및 목표

• 감염력에 따라 변화하는 행동 반응, 특히 예방접종 수용도를 모델링하기 위해 감염력에 기반한 이질적인 행동 반응을 분석한다.
• Preisach 히스테리시스 연산자가 유도하는 시간에 따라 변하는 예방접종률을 갖는 SIR 모델의 전역 역학을 분석한다.
• 편재성 평형 상태 또는 감염 없음 평형점으로의 전역 수렴을 위한 충분한 조건을 확립한다.
• 히스테리시스 연산자의 자연스러운 볼록성 가정 하에 지속적인 진동 행동(주기적 궤도)이 배제되는 조건을 규명한다.
• Preisach 연산자의 다중 지점에 맞춘 특화된 리아푸노프 함수의 가족을 개발하여 안정성 분석을 수행한다.

제안 방법

• 예방접종 결정에서 비율에 의존하지 않는 기억 효과를 반영하는 Preisach 히스테리시스 연산자를 사용하여 개인의 행동 반응을 모델링한다.
• 감염 수준에 기반한 Preisach 연산자의 출력을 바탕으로 상태에 따라 변하는 예방접종률 $ v(t) $ 를 갖는 수정된 SIR 모델을 도입한다.
• Preisach 연산자의 각 다른 지점에 대응하는 리아푸노프 함수의 가족 $ V_k(I,S) $ 를 적용하여, 서로 다른 궤도 구간에서의 안정성 분석을 수행한다.
• Preisach 연산자의 루프가 볼록함(가정 A)을 이용하여 리아푸노프 함수의 등고선 집합의 볼록성을 확보함으로써 전역 수렴 논증을 가능하게 한다.
• Preisach 연산자의 지점 간 전환점에서의 궤도 행동을 분석하고, 감염자 및 회복자 인구의 변화를 추적한다.
• 전방 유일성 및 유계성 논증을 사용하여 비유계 또는 병리적 행동(무한한 진동 또는 감염의 소멸)을 배제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Preisach 기반 예방접종률을 갖는 SIR 모델이 감염 없음 평형점으로 전역 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 감염 없음 평형점이 불안정할 경우, 편재성 평형 상태 집합의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 시스템에서 주기적 궤도가 나타날 수 있으며, 어떤 조건에서 이들이 배제되는가?
• RQ4 Preisach 히스테리시스 연산자는 시간에 따라 변화하는 예방접종 행동의 이질적인 행동 반응을 어떻게 모델링하는가?
• RQ5 Preisach 연산자 루프의 볼록성은 어떻게 편재성 평형 상태의 전역 안정성을 보장하는가?

주요 결과

• 모델 매개수와 Preisach 연산자의 구조에 따라 감염 없음 평형점으로의 전역 안정성 조건이 확립되었다.
• 감염 없음 평형점이 불안정할 경우, 감염자 및 이환자 비율이 다른 다양한 비율을 갖는 연결된 편재성 평형 상태 집합이 존재한다.
• 모든 궤도는 시스템의 역학과 매개수 값에 따라 편재성 평형점 또는 주기적 궤도로 수렴한다.
• 볼록성 가정(A) 하에서는 주기적 궤도가 배제되어, 모든 궤도가 편재성 평형 상태로 수렴함을 보장한다.
• 감염자 인구의 하한값은 0으로부터 유계로 유지되어, 편재성 평형 상태 존재 시 지속적인 전파를 보장한다.
• 각 Preisach 연산자 지점에 맞춘 특화된 리아푸노프 함수의 가족은 비연속적이고 히스테리시스 특성을 갖는 시스템에서도 엄밀한 전역 안정성 분석을 가능하게 한다.