[논문 리뷰] Dynamics of Two Coupled van der Pol Oscillators with Delay Coupling Revisited

M. I. Gluzman, Richard H. Rand|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 08.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 지연항을 느린 흐름에 그대로 유지함으로써 두 개의 지연결합된 반데르폴 진동자 시스템의 동역학을 재검토한다. 기존 연구에서는 지연항을 비지연항으로 근사하였지만, 본 논문은 지연항을 그대로 유지함으로써 더 정확한 분석을 수행한다. 지연미분방정식(DDE) 느린 흐름에서 유도된 초월특성방정식에 대해 급수해를 유도하였으며, 지연항을 忽略할 경우 허프 분기에서 임계지연을 예측할 때 3–15%의 오차가 발생하는 반면, 3항 근사에서는 오차가 1% 미만으로 감소함을 보였다.

ABSTRACT

The problem of two van der Pol oscillators coupled by velocity delay terms was studied by Wirkus and Rand in 2002. The small-epsilon analysis resulted in a slow flow which contained delay terms. To simplify the analysis, Wirkus and Rand followed a common procedure of replacing the delay terms by non-delayed terms, a step said to be valid for small epsilon, resulting in a slow flow which was an ODE rather than a DDE (delay-differential equation). In the present paper we consider the same problem but leave the delay terms in the slow flow, thereby offering an evaluation of the approximate simplification made previously.

연구 동기 및 목표

• 지연항을 비지연항으로 근사하는 대신, 지연항을 그대로 유지한 채 두 개의 지연결합 반데르폴 진동자 시스템의 느린 흐름을 재표현하는 것.
• 기존 문헌에서 느린 흐름에 지연된 변수를 비지연된 변수로 대체하는 일반적인 단순화 방법의 정확도를 평가하는 것.
• 지연미분방정식(DDE) 느린 흐름에서 유도된 초월특성방정식에 대한 급수해를 유도하고 분석하는 것.
• 지연항을 무시함으로써 느린 흐름에서 유도되는 임계지연 예측 오차를 정량화하는 것, 특히 허프 분기에서의 임계지연에 초점을 맞춤.
• DDE 시스템의 수치적 통합 결과와 비교하여 1-, 2-, 3항 근사와 같은 분석적 근사치의 정확도를 평가하는 것.

제안 방법

• 스케일된 시간 τ를 사용한 두 변수 섭동법을 적용하여 지연항을 유지한 느린 흐름을 유도함.
• 린스테트의 방법을 적용하여 동기 모드에 대한 주기적 근사를 도출하였으며, ε 및 지연 T에 따라 진폭과 주기를 보정함.
• 동기 모드 근처에서 선형화하여 편이에 대한 DDE를 유도함으로써 지연된 변수를 포함한 DDE 느린 흐름을 도출함.
• DDE 느린 흐름에서 유도된 초월특성방정식을 소형 ε에 대해 급수 전개(식 41, 42)를 통해 해결함.
• 분석적 근사치(급수의 1-, 2-, 3항 절단)를 DDE의 수치적 통합 결과와 비교함.
• 절대오차, 상대오차, 백분율 오차 지표를 사용하여 지연항을 무시함으로써 유도되는 임계지연 예측 오차를 평가함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지연항을 느린 흐름에 그대로 유지할 경우, 두 개의 지연결합 반데르폴 진동자 시스템에서 허프 분기 예측에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 느린 흐름에서 지연된 변수를 비지연된 것으로 근사함으로써 유도되는 오차의 크기는 얼마인가?
• RQ3 수치적 통합 결과와 비교할 때, DDE 느린 흐름의 분석적 급수 근사치는 얼마나 정확한가?
• RQ4 결합 강도 α와 지연 T가 각각 얼마일 경우, 3항 급수 근사치가 임계지연 예측 오차를 1% 이하로 줄일 수 있는가?
• RQ5 ε = 0.5일 때, 1항 근사치의 최대 오차는 어디에서 발생하며, 그 크기는 얼마인가?

주요 결과

• 급수해의 1항 절단(지연항을 비지연항으로 대체하는 것과 동치)은 허프 분기에서 임계지연을 예측할 때 ε에 따라 3–15%의 오차를 초래함.
• ε = 0.5일 때, 1항 근사치의 최대 절대오차는 0.2218에 도달하며, 이는 지연 효과를 忽略함으로써 발생한 13.11%의 백분율 오차에 기인함.
• 3항 절단은 ε = 0.5일 때 최대 백분율 오차를 0.71%로 감소시켜, 고차 지연 효과를 포함할 경우 높은 정확도를 확보함.
• 모든 ε 값에 대해 1-, 2-, 3항 근사치의 절대오차, 상대오차, 백분율 오차 지표에서 최대 오차가 α = 1에서 발생함.
• DDE 느린 흐름(식 26)–(27)의 수치적 통합 결과가 오차 평가의 기준이 되었으며, 이 기준과 비교할 때 3항 급수는 매우 정확한 것으로 나타남.
• 그림 1의 점선 곡선(1항 근사치)은 수치 결과(플러스 기호로 그린)와 상당한 차이를 보이며, 특히 α가 높아질수록 크게 벗어남으로써 비지연 단순화의 부정확성을 확인함.