[논문 리뷰] Dynamics on character varieties: a survey

Richard D. Canary|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 25.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 28인용 수 12

한 줄 요약

이 서베이는 단어 하이퍼볼릭 군 Γ와 단순 리군 G에 대해, 외부자기동형군 Out(Γ)가 특성다양체 X(Γ, G) 위에 작용하는 동역학을 조사한다. Out(Γ)가 아노소프 표현(볼록 코컴팩트 표현의 고차원 대응체) 위에 제대로 이산적으로 작용하며, 이전까지 알려진 바보다 더 큰 이산성 영역을 PSL(2,ℂ) 특성다양체 X(Γ, PSL(2,ℂ))에서 확인한다. 이 영역은 비이산적 또는 비단사적 표현을 포함할 수도 있다.

ABSTRACT

We survey recent work on the dynamics of the outer automorphism group of a word hyperbolic group on spaces of (conjugacy classes of) representations ofthe group into a semi-simple Lie group G. All these results are motivated by the fact that the mapping class group of a closed surface acts properly discontinuously on the Teichmuller space of the surface. We explore two settings. 1) The work of Guichard, Labourie and Wienhard establishing the proper discontinuity of the action of outer automorphism groups on spaces of Anosov representations. 2) The work of Canary, Gelander, Lee, Magid, Minsky and Storm on the case where the domain group is the fundamental group of a compact 3-manifold with boundary and G=PSL(2,C).

연구 동기 및 목표

• 단어 하이퍼볼릭 군의 외부자기동형군 작용이 테이히뮐러 공간에 제대로 이산적으로 작용하는 고전적 결과를, 단어 하이퍼볼릭 군의 외부자기동형군으로 일반화하기 위해.
• 단순 리군 G로의 표현의 동치류의 공간 X(Γ, G) 위에서 Out(Γ)의 동역학을 이해하기 위해.
• 특히 컴acts 3-다양체 M의 기본군 Γ = π₁(M)일 경우, 볼록 코컴팩트 표현을 초월하여 이산성 영역을 확장하는 Out(Γ) 작용의 영역을 규명하기 위해.
• Out(Γ)의 작용에 대한 동역학적 이분법(다이히로모티) 가능성 탐색: X(Γ, G)를 제대로 이산적인 영역과 혼돈 영역으로 분리하는 것.

제안 방법

• 라보르리에와 구이샤르드-비엔하르드에 의해 도입되고 일반화된 아노소프 표현 이론을 활용하여, 볼록 코컴팩트성의 고차원 대응체로 간주한다.
• 기하군론 기법을 적용하여, 준등거리 임bedding과 대칭공간 내 기하학적 직선 위로의 준립시츠 재구성 기법을 사용한다.
• δ-하이퍼볼릭 공간에서의 W-스러운 삼각형 개념을 활용하여, 거리 제어 및 사영에 의한 집합의 분리성 증명.
• 기하학적 직선 세그먼트 위로의 사영을 통해 군 작용의 기본영역을 구성하고, 가장 가까운 점 사영의 (1,T)-준립시츠 성질을 활용한다.
• 가장 가까운 점 사영 p_ij를 적용하여, C_Γ의 볼록결합에 속한 점들의 사영 거리 간의 거리를 제어한다.
• 거리의 상한과 슬림 삼각형 성질을 기반으로 한 모순 추론을 통해, 기하선 A_i와 A_j 사이의 거리가 균일하게 유계임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단어 하이퍼볼릭 군 Γ와 단순 리군 G에 대해, Out(Γ)가 X(Γ, G) 위에 제대로 이산적으로 작용하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 X(Γ, PSL(2,ℂ))에서 볼록 코컴팩트 표현을 초월하여 Out(Γ)의 이산성 영역을 확장할 수 있는가?
• RQ3 아노소프 표현이 고차원 리군에서 볼록 코컴팩트 표현의 자연스러운 일반화로 얼마나 잘 작용하는가?
• RQ4 Out(Γ)의 X(Γ, G) 위 작용에 대해, 제대로 이산적 행동과 혼란 행동을 분리하는 동역학적 이분법이 존재하는가?
• RQ5 자유군 F_n (n ≥ 3)에 대해, X(F_n, PSL(2,ℂ))에서 Out(Γ)가 에르고딕적으로 작용하는 표현의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• Out(Γ)는 임의의 단순 리군 G로의 아노소프 표현 공간에 제대로 이산적으로 작용하며, 이는 고전적 매핑 클래스군이 테이히뮐러 공간에 작용하는 결과를 일반화한다.
• Γ가 단어 하이퍼볼릭 군일 경우, 아노소프 표현의 공간은 X(Γ, G)의 열린 부분집합이며, Out(Γ)는 이 열린 부분집합 위에 제대로 이산적으로 작용한다.
• Γ가 경계를 가진 컴팩트 3-다양체 M의 기본군이며 G = PSL(2,ℂ)일 경우, Out(Γ)는 X(Γ, PSL(2,ℂ))에서 볼록 코컴팩트 표현을 엄격히 포함하는 이산성 영역을 가진다.
• 이 더 큰 이산성 영역은 이산적이지도, 단사적이지도 않은 표현을 포함할 수 있어, 더 넓은 범위의 잘 정의된 동역학 행동 영역을 보여준다.
• 자유군 F_n (n ≥ 3)에 대해, 게란더와 민스키는 Out(Γ)가 X(F_n, PSL(2,ℂ))의 열린 부분집합 위에서 에르고딕적으로 작용함을 보였다.
• Γ = F_2 이고 G = SL(2,ℝ)일 경우, 완전한 동역학적 이분법이 알려져 있다: Out(Γ)의 X(Γ, G) 위 작용은 제대로 이산적인 열린 집합과 혼란스러운 닫힌 집합으로 분리된다.