[논문 리뷰] Dynkin Games and Israeli Options

Yuri Kifer|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 64인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 딘킨 게임과 이스라엘(게임) 옵션에 대한 종합적인 서베이를 제공하며, 이들의 이론적 기초를 구축하고 지난 10년간의 주요 발전을 분석한다. 이는 이산시간 모델에서 슈퍼헤징 전략을 사용한 게임 옵션의 가격 정책 및 헤징을 위한 통합 프레임워크를 제시하며, 균형 전략의 존재성을 증명하고 이산 근사의 오차 한계를 유도한다. 또한 거래비용을 고려한 게임 옵션에 대해 구매-보유 전략과 이분기 모델에서의 극한 결과를 다룬다.

ABSTRACT

We start briefly surveying research on optimal stopping games since their introduction by E.B.Dynkin more than 40 years ago. Recent renewed interest to dynkin's games is due, in particular, to the study of Israeli (game) options introduced in 2000. We discuss the work on these options and related derivative securities for the last decade. Among various results on game options we consider error estimates for their discrete approximations, swing game options, game options in markets with transaction costs and other questions.

연구 동기 및 목표

• 딘킨이 1960년대 후반에 도입한 이래 딘킨 게임의 이론적 발전을 서베이하는 것.
• 2000년에 도입된 이스라엘(게임) 옵션 및 관련 파생상품에 대한 연구의 발전을 분석하는 것.
• 거래비용 유무에 관계없이 이산시간 금융시장에서 게임 옵션에 대한 엄밀한 슈퍼헤징 전략을 수립하는 것.
• 게임 옵션의 이산 근사에 대한 오차 추정치를 도출하고, 이들의 연속시간 극한으로의 수렴 성질을 연구하는 것.
• 특히 블랙-숄즈 설정에서 거래비용이 있는 시장에서 최적 전략의 구조를 조사하는 것.

제안 방법

• 정지시간 $s$와 $t$에 따라 변화하는 지ay $H(s,t)$를 포함한 세 개의 적응과정 $X_t$, $Y_t$, $Z_t$를 사용하여 딘킨 게임 설정을 형식화하며, 우측연속이고 완비적인 필터레이션 하에서 진행된다.
• 헤징 논증에 기반한 최소최대 원리에 따라 판매자 전략에 대한 하한과 구매자 전략에 대한 상한을 취하여 게임 가치를 정의한다.
• 값 함수의 에피그래프를 이용한 $σ_t$와 $\tau_t$에 대한 귀납적 알고리즘을 통해 구매자 및 판매자 모두의 슈퍼헤징 전략을 구성하며, 자기자금 조건과 포트폴리오 실현 가능성을 보장한다.
• 각 시점에서의 포트폴리오 제약 조건과 정지시간 결정을 표현하기 위해 지ay 함수의 에피그래프($\text{epi}(q_t^a)$, $\text{epi}(r_t^b)$ 등)를 사용한다.
• 이산시간 근사 기법을 적용하여, 이분기 모델 기반 전략이 연속시간 게임 옵션 가치로 수렴함을 보여준다.
• 거래비용 모델을 분석하기 위해, 가장 저렴한 슈퍼헤징 전략이 블랙-숄즈 시장에서 Borel 집합의 도달 시간과 결합된 구매-보유 포트폴리오임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 게임 가치의 구조는 어떻게 되어 있으며, 존재성이 비트레이벌한 경우 어떻게 엄밀하게 정의할 수 있는가?
• RQ2 포트폴리오 제약 조건이 존재하는 이산시간 시장에서 게임 옵션의 구매자 및 판매자에 대한 슈퍼헤징 전략은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 게임 옵션의 이산 근사에 대해 어떤 오차 한계를 설정할 수 있으며, 이들은 연속시간 극한으로 수렴하는가?
• RQ4 거래비용은 게임 옵션의 최적 헤징 전략에 어떤 영향을 미치며, 블랙-숄즈 설정에서 최소 비용 전략은 무엇인가?
• RQ5 거래비용이 존재하는 상황에서 게임 옵션의 단족 위험은 무엇이며, 이는 어떤 방식으로 이분기 모델 근사의 극한으로 특성화되는가?

주요 결과

• 조건 $Y_t \leq Z_t \leq X_t$와 지ay 과정의 상한의 적분 가능성 하에서 게임 가치가 존재하며, 안장점 균형에 의해 특성화된다.
• 판매자에 대한 슈퍼헤징 전략가 존재하며, 값 함수의 에피그래프를 이용한 귀납적 알고리즘을 통해 자기자금 조건과 포트폴리오 실현 가능성을 보장하면서 구성된다.
• 구매자에 대한 슈퍼헤징 전략도 유사하게 이중 귀납적 알고리즘을 통해 구성되며, 초기 포트폴리오가 구매자의 값 함수의 에피그래프에 포함됨을 보장한다.
• 거래비용이 존재하는 시장에서는, 블랙-숄즈 모델에서 게임 옵션의 가장 저렴한 슈퍼헤징 전략이 Borel 집합의 도달 시간과 결합된 구매-보유 포트폴리오임이 입증된다.
• 거래비용이 존재하는 상황에서 게임 옵션의 단족 위험은 이분기 모델 시퀀스의 대응 표현의 극한으로 도출되며, 이는 연속시간 사례로의 수렴을 확인한다.
• 게임 옵션의 이산 근사는 진짜 게임 옵션 가치로 수렴하며, 이는 이분기 모델 기반 전략의 수렴을 통해 오차 추정치가 확립된다.