[논문 리뷰] Effect of the shape of periodic forces and second periodic forces on horseshoe chaos in Duffing oscillator

V. Ravichandran, V. Chinnathambi외 2명|ArXiv.org|2008. 08. 04.

Chaos control and synchronization참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 멀니코프 방법을 사용하여 다양한 주기적 힘 형태—사인, 정사각형, 도막형, 반파정류된 사인, 사인의 절댓값—이 두프링 진동자에서 말발굽 혼돈(horseshoe chaos)에 미치는 영향을 조사한다. 논문은 혼돈 발생의 임계 조건을 해석적으로 유도하고, 멀니코프 함수의 부호가 변하지 않더라도 두 번째 주기적 힘을 추가하면 혼돈이 억제될 수 있음을 보여주며, 수치 시뮬레이션을 통해 다양한 힘 유형에서 이러한 예측이 확인된다.

ABSTRACT

The effect of the shape of six different periodic forces and second periodic forces on the onset of horseshoe chaos are studied both analytically and numerically in a Duffing oscillator. The external periodic forces considered are sine wave, square wave, symmetric saw-tooth wave, asymmetric saw-tooth wave, rectified sine wave, and modulus of sine wave. An analytical threshold condition for the onset of horseshoe chaos is obtained in the Duffing oscillator driven by various periodic forces using the Melnikov method. Melnikov threshold curve is drawn in a parameter space. For all the forces except modulus of sine wave, the onset of cross-well asymptotic chaos is observed just above the Melnikov threshold curve for onset of horseshoe chaos. For the modulus of sine wave long time transient motion followed by a periodic attractor is realized. The possibility of controlling of horseshoe and asymptotic chaos in the Duffing oscillator by an addition of second periodic force is then analyzed. Parametric regimes where suppression of horseshoe chaos occurs are predicted. Analytical prediction is demonstrated through direct numerical simulations. Starting from asymptotic chaos we show the recovery of periodic motion for a range of values of amplitude and phase of the second periodic force. Interestingly, suppression of chaos is found in the parametric regimes where the Melnikov function does not change sign.

연구 동기 및 목표

• 다섯 가지 다른 주기적 힘 형태가 두프링 진동자에서 말발굽 혼돈에 미치는 영향을 분석하기.
• 각 힘 유형에 대해 멀니코프 방법을 사용하여 말발굽 혼돈의 해석적 임계 조건을 도출하기.
• 두 번째 주기적 힘을 통한 말발굽 혼돈과 점근적 혼돈 억제를 조사하기.
• 직접 수치 시뮬레이션을 통해 해석적 예측을 검증하기.
• 멀니코프 함수의 부호가 변하지 않더라도 혼돈 억제가 발생할 수 있는 매개변수 영역 탐색하기.

제안 방법

• 다양한 주기적 힘 하에서 두프링 진동자의 동형 궤도(homoclinic orbits)에 대한 멀니코프 함수를 계산하기 위해 멀니코프 방법 적용.
• 각 힘 유형에 대해 (f-ω) 매개변수 공간에서 해석적 멀니코프 임계 곡선 유도.
• 교차하는 동형 궤도의 교차점이 나타나는 임계 힘 진폭 수치 계산 — 이는 말발굽 혼돈을 나타냄.
• 혼돈 발생과 억제를 확인하기 위해 분기 다이어그램과 최대 리아프노프 지수 사용.
• 조절 가능한 진폭과 위상의 두 번째 주기적 힘 도입하여 혼돈 억제 연구.
• 멀니코프 함수의 부호가 변하지 않지만 여전히 혼돈이 억제되는 매개변수 영역 식별 — 수치 시뮬레이션으로 확인.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사인, 정사각형, 도막형, 반파정류된 사인, 사인의 절댓값과 같은 다양한 주기적 힘 형태가 두프링 진동자에서 말발굽 혼돈의 발생에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 비정현 주기적 힘에 의해 구동되는 시스템에서 멀니코프 방법이 말발굽 혼돈의 임계 조건을 정확하게 예측할 수 있는가?
• RQ3 두 번째 주기적 힘을 추가함으로써 두프링 진동자에서 말발굽 혼돈과 점근적 혼돈에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 멀니코프 함수의 부호가 변하지 않는 매개변수 영역에서도 혼돈 억제가 발생할 수 있는가?
• RQ5 말발굽 혼돈 임계점 근처에서 사인의 절댓값 파형의 일시적 동역학은 다른 주기적 힘과 어떻게 다를까?

주요 결과

• 사인, 정사각형, 도막형, 반파정류된 사인 외의 모든 주기적 힘 형태에서, 멀니코프 임계 곡선을 略로 초과할 경우 교차하는 동형 궤도와 말발굽 혼돈이 발생한다.
• 사인의 절댓값 파형의 경우, 멀니코프 임계 곡선 근처에서는 점근적 혼돈 대신 장기적인 일시적 운동과 주기적 궤도가 관찰된다.
• 모든 힘 유형에서 수치 시뮬레이션과 잘 일치하는 해석적 멀니코프 예측을 통한 혼돈 발생 예측이 성립한다.
• 두 번째 주기적 힘의 진폭과 위상에 따라 말발굽 혼돈이 억제되며, 이는 멀니코프 함수의 부호가 변하지 않는 영역에서도 가능하다.
• 분기 다이어그램과 리아프노프 지수를 통해 두 번째 힘을 적절한 진폭과 위상으로 적용할 경우 혼돈 상태에서 주기적 운동으로 회복됨을 확인한다.
• 혼돈 억제를 위한 매개변수 영역이 식별되었으며, 특히 두 개의 사인 또는 두 개의 사인의 절댓값으로 구동되는 시스템에서 수치적으로 검증되었다.