[논문 리뷰] Effective Cartan-Tanaka connections on C6-smooth strongly pseudoconvex hypersurfaces M3 of C2

Mansour Aghasi, Joël Merker외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 08.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 27인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 C⁶-연속, 강한 강볼록성 조건을 만족하는 3차원 실수 초곡면 M³ ⊂ ℂ²에 대해 명시적으로 반복 Lie 괄호를 길이 6까지 계산하고, 정의 함수 ϕ의 임계 연장에서 미분 다항식 관계를 유도하며, 이러한 관계가 8차원의 그룹화된 리 대수에 값이 있는 카르탕 접속을 유일하게 결정함을 증명함으로써 효과적이고 정규적이며 규칙적인 카르탕-탄카 연결을 구성한다. 이 리 대수는 헤이젠베르크 구면 H³ 위의 복소 벡장의 구조와 동형이다.

ABSTRACT

In a recent expository article (Notices of the AMS, 58 (2011), no. 1, 20-27), Ezhov, McLaughlin and Schmalz showed how to perform in an effective way Tanaka's prolongation procedure valid generally for filtered structures of constant type when the distribution is equipped with an integrable complex structure, so as to derive the principal curvature invariants and (co)frame(s) associated to strongly pseudoconvex real hypersurfaces M3 in C2, an approach which is alternative and complementary to the `hyperspherical' connection of Elie Cartan, and to the so-called calculi of Fefferman, of Chern-Moser, of Webster. By choosing an initial frame for TM which is explicit in terms of a local graphing function v = f(x, y, u) for M, we provide a Cartan-Tanaka connection all elements of which are completely explicit in terms of f(x, y, u), assuming only C6-smoothness of M. The Gaussian requirement for systematic computational effectiveness then shows - a bit unexpectedly - that the two main curvatures are rational differential expressions in the sixth-order jet of f(x, y, u), the lengths of which are about 1000 pages long on a computer - just for the simplest instance of local embedded CR geometry. Large parts of the memoir aim at formulating general statements that will be useful for further constructions of Cartan-Tanaka connections related to the equivalence problem for (local) embedded CR manifolds whose CR-automorphism group is not semi-simple, cf. e.g. some model lists by Beloshapka.

연구 동기 및 목표

• C⁶-연속, 강한 강볼凸인 실수 초곡면 M³ ⊂ ℂ²에 대해 효과적이고 정규적이며 규칙적인 카르탕 접속을 수립하기 위해.
• 정의 함수 ϕ와 그 제트를 이용해 내재된 벡터장의 반복 괄호를 길이 6까지 명시적인 공식으로 제공하기 위해.
• ϕ의 4차, 5차, 6차 제트에서 유도된 미분 다항식 항등식을 유도하여 카르탕 접속의 구조를 제약하기 위해.
• 모델 헤이젠베르크 구면 H³ ⊂ ℂ²가 최대 대칭 대수를 실현하며, 접속의 기준이 되는 것을 보여주기 위해.
• 카르탕 접속이 M³의 기하학에 의해 유일하게 결정되며, 주다발 M³ × H⁵로의 표준적 업그레이드를 통해 유일하게 관련됨을 증명하기 위해.

제안 방법

• 정의 함수 ϕ(x,y,u) = x² + y² + O(3)를 사용해 복소 접속다발 TᶜM를 생성하는 내재된 벡터장 H₁, H₂를 정의한다.
• 레비 형식 유형 괄호 T = 1/4[H₁, H₂]를 계산하고, Υ가 ϕ와 그 도함수의 C⁴-연속 함수임을 고려해 (Υ/4∆²)∂/∂u 형태로 표현한다.
• T와 Hᵢ의 괄호 [Hᵢ, T] = ΦᵢT를 만족하는 함수 Φᵢ = Aᵢ/(∆²Υ)를 도입하고, 길이 6까지의 반복 괄호를 순환적으로 계산한다.
• Φᵢ의 반복 도함수의 분자 Aᵢ, Aᵢ,ₖ₁, Aᵢ,ₖ₁,ₖ₂, Aᵢ,ₖ₁,ₖ₂,ₖ₃를 6차까지의 ϕ 제트에 대한 유도 공식을 유도한다.
• 반복 괄호의 일致성을 보장하기 위해 Φᵢ가 만족해야 할 네 개의 삼차 미분 항등식을 수립한다.
• 주다발 P = M³ × H⁵ 위에서 값이 8차원 리 대수 g인 카르탕 접속 ω: TP → g를 구성한다. 이 g는 hol(H³)와 동형이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 C⁶-강볼凸인 M³ ⊂ ℂ²에 대해 카르탕-탄카 접속이 존재하기 위해 필요한 ϕ의 4차, 5차, 6차 제트에 대한 명시적 미분 다항식 제약 조건은 무엇인가?
• RQ2 내재된 벡터장 H₁, H₂, T의 길이 6까지의 반복 괄호는 카르탕 접속의 구조를 어떻게 결정하는가?
• RQ3 카르탕 접속 ω: TP → g의 정확한 형태는 무엇이며, M³의 기하학과 어떻게 유일하게 관련되는가?
• RQ4 헤이젠베르크 리 대수의 두 번째 코homology에서 유도된 코homological 제약 조건은 접속의 적분 가능성과 유일성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 모델 헤이젠베르크 구면 H³는 이러한 모든 M³에 대해 카르탕 접속의 보편적 모델로 얼마나 잘 작용하는가?

주요 결과

• 함수 Φᵢ = Aᵢ/(∆²Υ)는 H₂(Φ₁) ≡ H₁(Φ₂)라는 항등식을 만족하여 길이 3까지 괄호 구조의 일致성을 보장한다.
• 반복 도함수 Φᵢ가 만족해야 할 네 개의 삼차 미분 항등식이 항상 성립하며, 이는 규칙적인 카르탕 접속 존재를 위한 필수 조건이다.
• 카르탕 접속 ω: TP → g는 임의의 C⁶-강볼凸인 M³ ⊂ ℂ²에 대해 유일하게 관련되며, 값이 hol(H³)과 동형인 8차원의 그룹화된 리 대수 g에 속한다.
• 접속은 효과적이고 정규적이며 규칙적이며, 주다발 P = M³ × H⁵를 갖는다. 여기서 H⁵는 점 0에서의 이so트로피 대수 hol(H³)에 대응하는 단순연결된 5차원 리 군이다.
• 리 대수 g의 구조 상수는 정확히 헤이젠베르크 구면 H³ 위의 복소 벡장의 것과 일치하여 H³의 모델 성격을 확인한다.
• 일반 공식을 통해 그룹화된 리 대수의 두 번째 코homology를 계산하고, δ-연산자와 구조 상수를 사용해 기본 2-코체의 경계를 유도함으로써 코사이클 조건을 위한 선형 방정식계를 도출한다.