[논문 리뷰] Effective Whitney theorem for complex polynomial mappings of the plane

Michał Farnik, Zbigniew Jelonek외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 27.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소다항형사상 $F = (f,g): \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$에 대해 유효한 윌리엄슨의 정리의 형태를 확립하며, 임계곡선 $C(F)$와 그 상 $Δ(F)$인 디스크riminant의 위상수학적 구조를 규명한다. $Δ(F)$ 위의 군속점과 노드의 수, $C(F)$의 종수, 무한대에서의 행동에 대한 명시적 공식을 제공하며, 비일반적 형사상에 대해 일반화된 군속점의 인덱스 합에 대한 날카로운 상계를 도출한다.

ABSTRACT

We describe the topology of a general polynomial mapping $f:\Bbb C^2 o\Bbb C^2.$

연구 동기 및 목표

• 고정된 차수 $d_1 = \deg f$, $d_2 = \deg g$를 가진 일반적인 다항형사상 $F = (f,g): \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$의 전반적인 위상수학적 구조를 기술하기 위해.
• 형사상 하에서 임계곡선 $C(F)$와 그 상 $Δ(F)$인 디스크림이언트의 위상형태를 규명하기 위해.
• $\u0394(F)$ 위의 군속점과 노드의 수를 계산하고, 무한대에서의 특이점 구조를 분석하기 위해.
• 일반화된 군속점과 그 인덱스의 개념을 도입하고 분석하며, 임의의 다항형사상에 대해 이러한 인덱스의 합에 대한 날카로운 상계를 확립하기 위해.

제안 방법

• 임계집합 $C(F)$가 $\mathbb{C}^2$ 내에서 매끄럽고 연결된 곡선이며, $\frac{(d_1+d_2-3)(d_1+d_2-4)}{2}$개의 손잡이와 $d_1+d_2-2$개의 점이 제거된 구와 위상적으로 동치임을 분석한다.
• $C(F)$와 디스크림이언트 곡선 $\Delta(F) = F(C(F))$ 사이의 비유계 등가를 이용하여 그 종수와 특이점 간의 관계를 규명한다.
• 종수 공식과 델타-불변량을 적용하여 군속점 수 $c(F) = d_1^2 + d_2^2 + 3d_1d_2 - 6d_1 - 6d_2 + 7$와 노드 수 $d(F)$를 계산하며, $\gcd(d_1,d_2)$에 따라 수정항이 포함된다.
• 무한대에서 $\Delta(F)$의 행동을 분석하기 위해, $d_1 > d_2$일 경우 무한대에 있는 특이점의 델타 불변량 $\delta_P$를 계산하거나, $d_1 = d_2$일 경우 매끄러운 점의 수를 세는 방식을 사용한다.
• 일반화된 군속점 $a$에서의 인덱스 $\mu_a$를 국소환의 몫의 차원을 통해 정의하고, 일반적인 변형 하에서 작은 이웃에서의 단순 군속점 수를 세는 데 이 인덱스가 해당 수를 세는 데 기여함을 증명한다.
• 로슈 정리와 다항형사상 공간 내 수렴 논증을 사용하여 인덱스 $\mu_a$의 유한성과 불변성을 정당화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 다항형사상 $F = (f,g): \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$에 대해 차수 $d_1$과 $d_2$를 가진 경우, 임계곡선 $C(F)$의 위상적 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 디스크림이언트 곡선 $\Delta(F) = F(C(F))$는 군속점과 노드를 몇 개 가지며, 그 종수는 얼마인가?
• RQ3 디스크림이언트 곡선 $\Delta(F)$는 무한대에서 어떻게 행동하는가? 특히 특이점과 무한대 선과의 접선 성질 측면에서 어떻게 되는가?
• RQ4 다항형사상 $F$에 대해 $\deg f \leq d_1$, $\deg g \leq d_2$일 때, 일반화된 군속점의 인덱스 합의 최대 가능성은 얼마인가?
• RQ5 일반화된 군속점의 인덱스 $\mu_a$는 점 $a$ 근처의 일반적인 변형에서 단순 군속점의 수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 임계곡선 $C(F)$는 매끄럽고 연결된 곡선이며, $\frac{(d_1+d_2-3)(d_1+d_2-4)}{2}$개의 손잡이와 $d_1+d_2-2$개의 점이 제거된 구와 위상적으로 동치이다.
• 디스크림이언트 곡선 $\Delta(F)$는 $C(F)$와 비유계 등가이며, 특이점으로는 군속점과 노드만 존재하며, 단순 군속점의 수는 $c(F) = d_1^2 + d_2^2 + 3d_1d_2 - 6d_1 - 6d_2 + 7$이다.
• 노드의 수는 $d(F) = \frac{1}{2}\left[(d_1d_2 - 4)((d_1 + d_2 - 2)^2 - 2) - (\gcd(d_1,d_2) - 5)(d_1 + d_2 - 2) - 6\right]$이다.
• 만약 $d_1 = d_2$이면, $\Delta(F)$는 무한대에 $d_1 + d_2 - 2$개의 매끄러운 점을 가지며, 각각 무한대 선과 차수 $d_1$로 접한다.
• 만약 $d_1 > d_2$이면, $\Delta(F)$는 무한대에 하나의 특이점 $P$를 가지며, $d_1 + d_2 - 2$개의 분지와 델타 불변량 $\delta_P = \frac{1}{2}d_1(d_1 - d_2)(d_1 + d_2 - 2)^2 + \frac{1}{2}(-2d_1 + d_2 + \gcd(d_1,d_2))(d_1 + d_2 - 2)$를 가진다.
• 모든 다항형사상 $F = (f,g)$에 대해 $\deg f \leq d_1$, $\deg g \leq d_2$일 때, 일반화된 군속점의 인덱스 합은 $\sum_{i=1}^r \mu_{a_i} \leq d_1^2 + d_2^2 + 3d_1d_2 - 6d_1 - 6d_2 + 7$를 만족하며, 일반형 사상에서는 등호가 성립할 수 있다.