[논문 리뷰] Efficient algorithm for generating Pauli coordinates for an arbitrary linear operator

Daniel Gunlycke, Mark C. Palenik외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 선형 연산자의 모든 파울리 좌표를 O(N² log₂N) 연산으로 효율적으로 계산하는 알고리즘을 제안한다—기존의 표준적인 O(N⁴) 방법보다 훨씬 빠르며, VQE와 같은 양자 알고리즘에서 실용적인 양자 우월성을 가능하게 한다. 이 방법은 빠른 푸리에 변환과 텐서 곱 구조를 활용하여 기저 전환을 가속화하며, 양자 시뮬레이터와 실제 하드웨어에서 상대론적 보존계의 기저 상태 에너지를 정확하게 계산한 것으로 입증되었다.

ABSTRACT

Several linear algebra routines for quantum computing use a basis of tensor products of identity and Pauli operators to describe linear operators, and obtaining the coordinates for any given linear operator from its matrix representation requires a basis transformation, which for an $\mathrm N imes\mathrm N$ matrix generally involves $\mathcal O(\mathrm N^4)$ arithmetic operations. Herein, we present an efficient algorithm that for our particular basis transformation only involves $\mathcal O(\mathrm N^2\log_2\mathrm N)$ operations. Because this algorithm requires fewer than $\mathcal O(\mathrm N^3)$ operations, for large $\mathrm N$, it could be used as a preprocessing step for quantum computing algorithms for certain applications. As a demonstration, we apply our algorithm to a Hamiltonian describing a system of relativistic interacting spin-zero bosons and calculate the ground-state energy using the variational quantum eigensolver algorithm on a quantum computer.

연구 동기 및 목표

• 기존에 O(N⁴) 연산이 필요로 하는 선형 연산자의 행렬 표현에서 파울리 기저 좌표로의 변환에 발생하는 계산 블로킹 문제를 해결하기 위해.
• 파울리 표현이 필요한 VQE와 HHL과 같은 양자 알고리즘을 위한 효율적인 사전처리를 가능하게 하기 위해.
• 클래식적 사전처리 비용을 O(N³) 이하로 줄여, 양자 알고리즘이 종합적으로 양자 우월성을 달성할 수 있도록 하기 위해.
• 실제 양자 시뮬레이션을 통해 상호작용하는 상대론적 보존의 기저 상태를 정확하게 분석하고자 하기 위해.

제안 방법

• Q 큐비트에 대한 파울리 기저의 텐서 곱 구조에 기반한 재귀적 분해를 사용하며, 여기서 N = 2^Q이다.
• 파울리 행렬의 대칭성과 정규직교성을 활용하여 FFT 유사 재귀를 적용하여 파울리 좌표를 효율적으로 계산한다.
• 파울리 기저 요소와의 내적을 통해 연산자의 파울리 기저에서의 계수를 계산하며, O(N⁴)에서 O(N² log₂N)으로 복잡도를 감소시키는 분할 정복 전략을 사용한다.
• 힐베르트 공간을 재귀적으로 분할하고 부분공간에서의 행렬 추적을 계산함으로써 변환을 구현하며, 파울리 연산자가 완전하고 정규직교 기저를 이룬다는 사실을 활용한다.
• 알고리즘은 2모드 포크 공간에서 스핀이 0인 상대론적 보존의 해밀토니안에 적용되었으며, 두 번째 양자화와 모드 결합으로부터 유도된 행렬 원소를 사용한다.
• 결과로 도출된 파울리 표현은 IBM Q 시뮬레이터와 IBM Q 산타이아고 양자 프로세서에서 실행된 변량 양자 고유값 해법(VQE)의 입력으로 사용되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 선형 연산자에 대해 기존의 O(N³) 이하로 파울리 좌표로의 기저 전환을 가속화할 수 있는가?
• RQ2 제안된 O(N² log₂N) 알고리즘이 VQE와 같은 양자 알고리즘에서 실용적인 양자 우월성을 가능하게 하는가?
• RQ3 이 사전처리 단계를 사용한 VQE 알고리즘이 강한 상관성이 있는 양자 시스템의 기저 상태 에너지를 얼마나 정확하게 재현할 수 있는가?
• RQ4 실제 하드웨어에서의 양자 시뮬레이션 결과(IBM Q 산타이아고)가 정확한 대각화 및 시뮬레이터 결과와 어느 정도 일치하는가?

주요 결과

• 알고리즘은 파울리 좌표 생성의 계산 비용을 O(N⁴)에서 O(N² log₂N)로 감소시켜, 양자 알고리즘을 위한 더 빠른 사전처리를 가능하게 하였다.
• 이 방법은 2모드 상자 내에서 질량이 0인 보자이온 네 개의 해밀토니안에 성공적으로 적용되었으며, 두 번째 양자화와 모드 결합으로부터 유도된 행렬 원소를 사용하였다.
• 기저 상태 에너지는 정확한 대각화와 IBM Q 시뮬레이터, IBM Q 산타이아고 양자 프로세서에서 VQE를 통해 계산되었으며, 모든 플랫폼 간 일관된 추세를 보였다.
• 약한 상호작용 조건에서는 IBM Q 산타이아고에서의 VQE 결과로 기울기 β_qc ≈ 8.192×10⁻³를 도출하였으며, 이는 펌더티케이션 추정치 β ≈ 5.374×10⁻³와 유사하여 통계적 노이즈가 존재하더라도 합리적인 정확도를 보였다.
• VQE에서 도출된 기저 상태 에너지 곡선의 전반적인 형태는 정확한 대각화 결과와 일치하여, 이 방법이 양자 시뮬레이션에 실용적으로 적용 가능하다는 것을 확인하였다.
• 본 연구는 이 알고리즘을 통한 클래식적 사전처리가 현재의 노이즈가 많은 중간 규모 양자(NISQ) 장치를 사용하더라도, 양자 선형 대수 작업에서의 양자 우월성을 가능하게 함을 보여주었다.