[논문 리뷰] Efficient approximate unitary t-designs from partially invertible universal sets and their application to quantum speedup

Rawad Mezher, Joe Ghalbouni외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 04.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 역원이 포함되지 않거나 대수적 원소를 가지지 않는 부분적으로 역원이 가능한 보편 집합을 사용하여 효율적인 근사 유니타리 $t$-디자인을 구성한다. 이는 이전의 역원 닫힘 및 대수적 원소를 요구하는 조건을 완화함으로써 새로운 양자 회로 및 측정 기반 양자 계산(MBQC) 구조를 가능하게 한다. 저자들은 $n$- 큐비트 클러스터 상태에서 고정된 각도 측정 할당이 거의 항상 효율적인 $t$-디자인을 생성함을 증명하고, 표준 복잡도 가정 하에 양자 속도 향상을 보여준다.

ABSTRACT

At its core a $t$-design is a method for sampling from a set of unitaries in a way which mimics sampling randomly from the Haar measure on the unitary group, with applications across quantum information processing and physics. We construct new families of quantum circuits on $n$-qubits giving rise to $\varepsilon$-approximate unitary $t$-designs efficiently in $O(n^3t^{12})$ depth. These quantum circuits are based on a relaxation of technical requirements in previous constructions. In particular, the construction of circuits which give efficient approximate $t$-designs by Brandao, Harrow, and Horodecki (F.G.S.L Brandao, A.W Harrow, and M. Horodecki, Commun. Math. Phys. (2016).) required choosing gates from ensembles which contained inverses for all elements, and that the entries of the unitaries are algebraic. We reduce these requirements, to sets that contain elements without inverses in the set, and non-algebraic entries, which we dub partially invertible universal sets. We then adapt this circuit construction to the framework of measurement based quantum computation(MBQC) and give new explicit examples of $n$-qubit graph states with fixed assignments of measurements (graph gadgets) giving rise to unitary $t$-designs based on partially invertible universal sets, in a natural way. We further show that these graph gadgets demonstrate a quantum speedup, up to standard complexity theoretic conjectures. We provide numerical and analytical evidence that almost any assignment of fixed measurement angles on an $n$-qubit cluster state give efficient $t$-designs and demonstrate a quantum speedup.

연구 동기 및 목표

• 효율적인 근사 유니타리 $t$-디자인을 구성하기 위한 보편 게이트 집합에 대한 엄격한 요구 조건을 완화함으로써, 특히 역원 닫힘 및 대수적 원소를 가지는 게이트가 필요 없도록 하는 것.
• 그래프 상태와 고정된 측정 각도를 사용하여 측정 기반 양자 계산(MBQC)에 $t$-디자인을 확장하는 것.
• 이러한 새로운 구성이 증명 가능하게 어려운 표본 추출 문제를 유도함으로써, 표준 복잡도 추측 하에 양자 속도 향상을 보여주는 것.
• 거의 모든 고정된 각도 할당이 $n$-큐비트 클러스터 상태에서 효율적인 $t$-디자인을 생성함을 분석적 및 수치적 증거로 제시하는 것.
• 부분적으로 역원이 가능한 집합으로의 완화가 대수적 원소나 완전한 역원 닫힘 없이도 보편성과 $t$-디자인 수렴을 유지함을 보여주는 것.

제안 방법

• 역원이 집합 내에 포함되지 않거나 대수적 원소를 포함하지 않을 수 있는 '부분적으로 역원이 가능한 보편 집합'의 개념을 도입함으로써 보편성을 유지하는 것.
• 이 유연한 게이트 집합을 사용하여 깊이 $O(n^3 t^{12})$인 양자 회로를 구성하여 $\varepsilon$-근사 $t$-디자인을 생성하는 것.
• 클러스터 상태에서 고정된 측정 각도 할당을 정의함으로써 그래프 게이지(고정된 측정 각도 할당)를 도입하고, 동일한 $t$-디자인 행동을 시뮬레이션하는 MBQC로 회로 구성법을 적응하는 것.
• 전달 행렬 $M_t[\mu_B]$의 스펙트럼 분석을 통해 보조 고유값 $|\lambda|$를 경계함으로써, $|\lambda|$가 1에서 균일하게 떨어져 있을 경우 $t$-디자인 수렴이 이루어짐을 보여주는 것.
• 논문 [65, 11] 및 [18, 19]의 기법을 활용하여, 무리수 회전과 리 대수 생성에 기반해 유도된 게이트 집합의 보편성을 증명하는 것.
• 표준 복잡도 추측 하에, 결과 $t$-디자인에서의 표본 추출이 고전적 다항 시간 알고리즘으로서의 어려움을 보여줌으로써 양자 속도 향상을 입증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 역원 닫힘 또는 대수적 원소를 가지는 보편 게이트 집합이 필요 없이 효율적인 근사 유니타리 $t$-디자인을 구성할 수 있는가?
• RQ2 기본 게이트 집합이 부분적으로 역원가능할 경우, $n$-큐비트 클러스터 상태에서 고정된 각도 측정 할당이 효율적인 $t$-디자인을 유도하는가?
• RQ3 거의 모든 이러한 게이지에서 전달 행렬 $M_t[\mu_B]$의 보조 고유값 $|\lambda|$가 1에서 균일하게 떨어져 있는가? 이는 $t$-디자인으로의 수렴을 보장하는가?
• RQ4 이러한 MBQC 기반의 $t$-디자인은 증명 가능하게 어려운 표본 추출 문제를 유도할 수 있는가? 이는 양자 속도 향상을 암시하는가?
• RQ5 비대수적 원소와 부족한 역원 조건이 존재할 경우, 어떤 게이트 집합 조건이 결과 집합이 $t$-디자인을 생성함을 보장하는가?

주요 결과

• 저자들은 깊이 $O(n^3 t^{12})$의 부분적으로 역원가능한 보편 집합을 사용하여 $\varepsilon$-근사 유니타리 $t$-디자인을 구성함으로써, 이전의 기술적 제약을 크게 완화하였다.
• 수치적 및 분석적 증거는 $n$-큐비트 클러스터 상태에서 거의 모든 고정된 측정 각도 할당이 효율적인 $t$-디자인을 생성함을 보여주며, 보편적 수렴에 대한 추측을 지지한다.
• 거의 모든 2큐비트 클러스터 상태 게이지에서 전달 행렬 $M_t[\mu_B]$의 보조 고유값 $|\lambda|$는 $t$에 독립적인 상수로 경계되며, 이는 $t$-디자인으로의 빠른 수렴을 암시한다.
• 이 구성은 양자 속도 향상을 보여준다: 표준 복잡도 추측 하에, 결과 $t$-디자인에서의 표본 추출은 고전적 다항 시간 알고리즘으로서의 어려움을 초래한다.
• 예를 들어 $\alpha = \pi/6$ 및 $\beta = \arccos(\sqrt{1/3})$를 사용하여 부분적으로 역원가능한 보편 집합의 명시적 예가 제공되며, 이는 $U(4)$-보편적이며, 역원이 없고, 대수적이지 않은 게이트 집합을 생성한다.
• 증명 기법은 대수적 원소나 역원 닫힘에 의존하지 않으며, 무리수 회전과 리 대수 생성을 활용함으로써 이러한 조건이 $t$-디자인 수렴에 필수적이지 않음을 보여준다.