[논문 리뷰] Efficient Blind Compressed Sensing Using Sparsifying Transforms with Convergence Guarantees and Application to MRI

Saiprasad Ravishankar, Yoram Bresler|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 13.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 68인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 고도로 미리 샘플링된 MRI k-공간 데이터로부터 이미지를 재구성하고 희박화 변환을 동시에 학습하는 전역 수렴성 보장이 되는 블록 좌표 강하 알고리즘을 제안한다. 이 방법은 최소한 국소적이고 국소적으로도 최적화된 임계점을 수렴함으로써, 희박화 변환에 대한 사전 지식이 없이도 빠르고 고성능의 MRI 재구성 가능성을 보장한다.

ABSTRACT

Natural signals and images are well-known to be approximately sparse in transform domains such as Wavelets and DCT. This property has been heavily exploited in various applications in image processing and medical imaging. Compressed sensing exploits the sparsity of images or image patches in a transform domain or synthesis dictionary to reconstruct images from undersampled measurements. In this work, we focus on blind compressed sensing, where the underlying sparsifying transform is a priori unknown, and propose a framework to simultaneously reconstruct the underlying image as well as the sparsifying transform from highly undersampled measurements. The proposed block coordinate descent type algorithms involve highly efficient optimal updates. Importantly, we prove that although the proposed blind compressed sensing formulations are highly nonconvex, our algorithms are globally convergent (i.e., they converge from any initialization) to the set of critical points of the objectives defining the formulations. These critical points are guaranteed to be at least partial global and partial local minimizers. The exact point(s) of convergence may depend on initialization. We illustrate the usefulness of the proposed framework for magnetic resonance image reconstruction from highly undersampled k-space measurements. As compared to previous methods involving the synthesis dictionary model, our approach is much faster, while also providing promising reconstruction quality.

연구 동기 및 목표

• 희박화 변환에 대한 사전 지식이 없을 경우 고도로 미리 샘플링된 MRI k-공간 데이터로부터 이미지를 재구성하는 데 도전하는 것.
• 블라인드 압축 센싱 환경에서 동시에 이미지 재구성 및 희박화 변환 학습을 수행할 수 있는 효율적인 최적화 프레임워크를 개발하는 것.
• 블록 좌표 강하를 사용한 비볼록 블라인드 압축 센싱 공식화의 이론적 수렴 보장을 제공하는 것.
• 기존의 합성 사전 기반 방법들과 비교해 더 빠른 재구성 속도와 경쟁 가능한 영상 품질을 달성하는 것.

제안 방법

• 이미지, 희박화 변환, 측정 일致성 항을 번갈아가며 업데이트하는 블록 좌표 강하 알고리즘을 사용한다.
• 비볼록 최적화 공식화를 사용하며, 변환 계수에 대한 희박성 촉진 페널티와 바rier 함수를 통한 단위성 조건을 포함한다.
• 이미지 및 변환 변수에 대해 최적의 폐형 해를 적용하여 계산 효율성을 확보한다.
• 선형 측정 모델 $Ax = y$ 를 강제하기 위해 라그랑주 승수를 사용하는 측정 일치 항을 통합한다.
• 변환 도메인에서의 희박성 강제를 위해 $H_s(\cdot)$ 와 유사한 소프트 스레셔닝 연산자 사용하며, 변환의 단위성 유지에 바리어 함수 $\varphi(W)$ 를 적용한다.
• 비볼록 환경에서도 임계점으로의 전역 수렴을 보장하는 새로운 수렴 분석을 도입한다. 이 임계점은 최소한 국소적이고 국소적으로도 최적화된 해이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비볼록 최적화 문제의 비볼록성에도 불구하고 블라인드 압축 센싱을 전역 수렴성으로 보장할 수 있는가?
• RQ2 희박화 변환에 대한 사전 지식 없이도 고도로 미리 샘플링된 MRI 측정치로부터 효율적으로 희박화 변환을 학습할 수 있는가?
• RQ3 비볼록 목표 함수를 가진 블라인드 압축 센싱에서 블록 좌표 강하의 이론적 수렴 행동은 어떠한가?
• RQ4 제안된 방법은 기존의 합성 사전 기반 접근법보다 더 빠른 재구성 속도를 달성할 수 있으며, 영상 품질을 유지하거나 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 희박성과 측정 일치성 측면에서 재구성된 이미지와 학습된 변환의 품질에 대해 어떤 보장을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 블록 좌표 강하 알고리즘은 비볼록 목표 함수의 임계점으로 전역 수렴하며, 이는 최소한 국소적이고 국소적으로도 최적화된 해임이 보장된다.
• 합성 사전 기반 블라인드 압축 센싱 방법들과 비교해 상당히 더 빠른 재구성 속도를 달성하면서도 경쟁 가능한 영상 품질을 유지한다.
• 이론적 분석을 통해 수렴이 초기화에 독립적이며, 최종 결과는 시작 값에만 의존함을 확인한다.
• MRI 데이터에 대한 실증 결과는 학습된 희박화 변환이 고도로 미리 샘플링된 k-공간 데이터로부터 고성능 영상 재구성을 가능하게 함을 보여준다.
• 재구성 속도 측면에서 기존 방법들을 능가하며, 초기화에 대한 강건성과 다수의 시험에서 안정적인 수렴 행동을 유지함을 입증한다.