[논문 리뷰] Efficient Circuits for Quantum Walks

Chen-Fu Chiang, Daniel Nagaj외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 03. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 희박한 고전적 랜덤 워크 기반의 양자 워크를 구현하기 위한 효율적인 양자 회로 설계를 제안한다. 그로버와 루돌프의 일관된 확률 분포를 준비하는 방법을 적응시켜, 희박성에 대해 선형 스케일링과 정밀도 역수에 대해 다항로그 스케일링을 달성함으로써, 이전 방법이 희박성에 대해 제곱스케일링 또는 정밀도에 대해 다항스케일링이었던 것과 비교해 크게 향상된 성능을 확보한다.

ABSTRACT

We present an efficient general method for realizing a quantum walk operator corresponding to an arbitrary sparse classical random walk. Our approach is based on Grover and Rudolph's method for preparing coherent versions of efficiently integrable probability distributions. This method is intended for use in quantum walk algorithms with polynomial speedups, whose complexity is usually measured in terms of how many times we have to apply a step of a quantum walk, compared to the number of necessary classical Markov chain steps. We consider a finer notion of complexity including the number of elementary gates it takes to implement each step of the quantum walk with some desired accuracy. The difference in complexity for various implementation approaches is that our method scales linearly in the sparsity parameter and poly-logarithmically with the inverse of the desired precision. The best previously known general methods either scale quadratically in the sparsity parameter, or polynomially in the inverse precision. Our approach is especially relevant for implementing quantum walks corresponding to classical random walks like those used in the classical algorithms for approximating permanents and sampling from binary contingency tables. In those algorithms, the sparsity parameter grows with the problem size, while maintaining high precision is required.

연구 동기 및 목표

• 임의의 희박한 고전적 랜덤 워크에 대응하는 양자 워크 연산자에 대한 효율적인 양자 회로 구현을 개발하는 것.
• 기존 방법에서 큰 또는 매우 정밀한 문제에 대해 양자 워크 단계를 구현할 경우 높은 자원 비용이 발생하는 문제를 해결하는 것.
• 전이 확률의 상태 준비를 최적화하여 양자 워크 단계의 게이트 수와 큐비트 요구량을 줄이는 것.
• 각 워크 단계의 복잡도를 최소화하여 실용적인 양자 워크 기반 알고리즘—특히 다항속도 향상이 가능한 알고리즘—을 가능하게 하는 것.
• 영구행렬 근사 및 연도표 샘플링과 같은 문제에서 사용되는 복잡한 고전적 마르코프 체인에 적용 가능한 확장 가능한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 효율적으로 통합 가능한 확률 분포의 일관된 초위상 상태를 준비하는 데에 그로버와 루돌프의 방법을 양자 워크 환경에 적응 적용한다.
• 전이 확률의 재귀적 트리 기반 분해를 통해 목표 초위상 상태를 준비하는 제어 회전을 구성한다.
• 누적 확률에 기반해 동적으로 계산된 각도 θ를 사용하는 제어 회전 회로를 적용하여 정밀한 진폭 준비를 가능하게 한다.
• 초기 상태에서 제어 레지스터 S에 있는 초위상 상태를 출력 레지스터 R로 전달하기 위한 매핑 회로 M을 도입하고, 청소 회로 C를 통해 역연산을 수행한다.
• 보조 큐비트와 DAC(differential angle computation) 회로를 사용하여 이진 트리 구조를 활용해 각도 θ를 고정밀도로 계산한다.
• 중간 레지스터와 보조 큐비트를 역연산하여 위상 일관성을 유지하고 자원 오버헤드를 줄여, 고장 내성 구현을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 희박한 고전적 랜덤 워크에 대해 게이트 수와 큐비트 사용량을 최소화하면서 양자 워크 단계를 효율적으로 구현할 수 있는가?
• RQ2 기존 방법과 비교해, 양자 워크 구현의 복잡도가 희박성과 원하는 정밀도에 따라 어떻게 스케일링되는가?
• RQ3 이 방법은 영구행렬 근사 및 연도표 샘플링과 같은 문제에서 사용되는 복잡한 고전적 마르코프 체인에 적용될 수 있는가?
• RQ4 양자 워크 상태 준비에서 회로 깊이, 게이트 수, 정밀도 사이의 최적의 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ5 제안된 방법은 이전의 일반적인 양자 워크 구축 방식보다 더 나은 점근적 스케일링을 달성하는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 희박성 매개변수 d에 대해 선형 스케일링, 정밀도 역수 1/ε에 대해 다항로그 스케일링을 달성하여 총 게이트 수가 O(md⋅poly(log d, log(1/ε)))가 된다.
• 이전의 일반적 접근 방식이 d에 대해 제곱스케일링 또는 1/ε에 대해 다항스케일링이었던 것과 비교해, 상당한 점근적 이점이 있다.
• 필요한 큐비트 수는 O(dm + dt + poly(t) + log d)로 스케일링되며, 보조 큐비트와 레지스터 사용에 정밀한 제어가 가능하다.
• 회로는 높은 정밀도를 유지하여 t = Ω(log d + log(1/ε))일 때 최종 유니터리 연산의 오차가 ε 이내로 제한된다.
• 특히 영구행렬 근사 및 이진 연도표에서의 샘플링과 같이 희박성이 증가하고 정밀도 요구사항이 높은 문제에 매우 효과적이다.
• 구현은 모듈러리하고 일반적이므로, 임의의 d-희박한 확률행렬 P에 대해 효율적인 양자 워크 연산자를 구성하는 데에 유용하다.