[논문 리뷰] Efficient classical algorithms for simulating symmetric quantum systems

Eric R. Anschuetz, Andreas Bauer외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 30.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 53인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 대칭 양자 시스템, 특히 순열 불변 해밀토니안을 위한 효율적인 고전적 알고리즘을 제시한다. 연산자를 다항수의 크기를 가진 블록 대각 스чу어 기저로 변환함으로써, 이 기저에서 텐서 네트워크 방법과 정확한 행렬 연산을 사용하여, 지배 상태와 시간에 따른 기댓값을 다항 시간 내에 계산한다. 이는 대칭성에 기반한 양자 우월성이 항상 필요하지 않음을 시사한다.

ABSTRACT

In light of recently proposed quantum algorithms that incorporate symmetries in the hope of quantum advantage, we show that with symmetries that are restrictive enough, classical algorithms can efficiently emulate their quantum counterparts given certain classical descriptions of the input. Specifically, we give classical algorithms that calculate ground states and time-evolved expectation values for permutation-invariant Hamiltonians specified in the symmetrized Pauli basis with runtimes polynomial in the system size. We use tensor-network methods to transform symmetry-equivariant operators to the block-diagonal Schur basis that is of polynomial size, and then perform exact matrix multiplication or diagonalization in this basis. These methods are adaptable to a wide range of input and output states including those prescribed in the Schur basis, as matrix product states, or as arbitrary quantum states when given the power to apply low depth circuits and single qubit measurements.

연구 동기 및 목표

• 고전적 알고리즘이 높은 대칭성을 가진 양자 시스템, 특히 순열 불변 해밀토니안을 다항 시간 내에 효율적으로 시뮬레이션할 수 있는지 조사한다.
• 대칭성을 활용해 양자 우월성을 얻는 양자 알고리즘이 고전적으로 다항 시간 내에 모방 가능한지 결정한다.
• 대칭성 감소 기저에서 고전적 선형 대수를 사용해 지배 상태와 시간에 따른 관측값을 계산하는 프레임워크를 개발한다.
• 이 방법을 큸디트로 확장하고, 국소 차원과 시스템 크기의 런타임 스케일링을 분석한다.

제안 방법

• 대칭성에 대해 불변인 연산자를 텐서 네트워크 방법을 사용해 다항수의 크기를 가진 블록 대각 스추어 기저로 변환하여 힐베르트 공간을 다항수의 크기로 축소한다.
• d-레벨 큄디트에 대해, 대칭화된 파울리 기저를 연결 차원 O(n^{d^2-1})인 행렬 곱 연산자(MPO)로 표현한다.
• 스추어 기저에서 정확한 행렬 곱셈과 대각화를 수행하여 지배 상태와 시간 진화를 계산한다.
• 클레브시-고르단 계수를 사용해 MPO 텐서를 효율적으로 수축하고, 저비용 연산을 위한 밴드 대각 구조를 유지한다.
• 군 표현 이론을 활용해 대칭 부분공간을 비가역 표현으로 분해하여 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• 임의의 연산자를 불변 부분공간에 투영하기 위해 트윙글링 초연산자를 적용하여 대칭성 유지 보장을 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 알고리즘이 순열 불변 해밀토니안의 지배 상태와 시간 진화를 다항 시간 내에 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ2 양자 시스템의 대칭성이 존재할 때, 잠재적인 양자 우월성에도 불구하고 어떤 조건에서 효율적인 고전적 시뮬레이션이 가능한가?
• RQ3 대칭 해밀토니안에 대해 고전적 시뮬레이션의 런타임은 시스템 크기와 국소 큄디트 차원에 따라 어떻게 스케일링되는가?
• RQ4 스추어 기저를 사용해 고전적 선형 대수를 통해 대칭 양자 연산자를 효율적으로 표현하고 계산할 수 있는가?
• RQ5 대칭성을 기반으로 하는 양자 머신 러닝 모델이 고전적 방법을 통해 탈양자화될 수 있는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 저자들은 대칭화된 파울리 기저에서 순열 불변 해밀토니안에 대해 지배 상태와 시간에 따른 기댓값을 다항 시간 내에 고전적으로 시뮬레이션하는 데 성공했다.
• 개별 행렬 원소 Xi,j^k의 계산 런타임은 O(n^6)이며, 전체 O(n^9) 계수에 대해선 O(n^15)로, 모두 시스템 크기에 대해 다항식이다.
• 국소 차원 d인 큄디트의 경우, 런타임은 O(n^{2d^2 - 1})으로 스케일링되며, 다항식이지만 d가 증가함에 따라 급격히 증가한다. 예를 들어, 큄트리트의 경우 O(n^{17})이다.
• 스추어 기저는 전체 힐베르트 공간이 지수적으로 크더라도, 크기가 n에 대해 다항식인 공간에서 정확한 대각화와 행렬 곱셈을 가능하게 한다.
• 이 방법은 다양한 입력 및 출력 상태에 적응 가능하며, 스추어 기저, 행렬 곱 상태, 또는 저깊이 회로와 단일 큐비트 측정에 액세스 가능한 임의의 상태로도 적용 가능하다.
• 이 프레임워크는 대칭성에 기반한 양자 알고리즘이 항상 계산적 우월성을 제공하지는 않으며, 동일한 대칭 조건 하에서 고전적 시뮬레이션이 가능하다는 점을 보여준다.