[논문 리뷰] Efficient Computation of Higher-Order Variational Integrators in Robotic Simulation and Trajectory Optimization

Taosha Fan, Jarvis Schultz외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 29.

Numerical methods for differential equations인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 로봇 시뮬레이션 및 궤적 최적화에서 고차수 변분 적분법을 계산하기 위한 최초의 O(n) 알고리즘을 제안한다. 이는 임의의 차수의 적분법에 대해 이산 오일러-라그랑주 방정식과 뉴턴 방향을 선형 시간 내에 평가할 수 있도록 하며, 기존의 O(n³) 방법에 비해 유의미하게 개선된 확장성과 정확도를 보이는 O(n²) 선형화를 통해 DEL 방정식을 실현한다. 아틀라스와 리틀독과 같은 복잡한 로봇에서의 검증을 통해 성능을 입증하였다.

ABSTRACT

This paper addresses the problem of efficiently computing higher-order variational integrators in simulation and trajectory optimization of mechanical systems as those often found in robotic applications. We develop $O(n)$ algorithms to evaluate the discrete Euler-Lagrange (DEL) equations and compute the Newton direction for solving the DEL equations, which results in linear-time variational integrators of arbitrarily high order. To our knowledge, no linear-time higher-order variational or even implicit integrators have been developed before. Moreover, an $O(n^2)$ algorithm to linearize the DEL equations is presented, which is useful for trajectory optimization. These proposed algorithms eliminate the bottleneck of implementing higher-order variational integrators in simulation and trajectory optimization of complex robotic systems. The efficacy of this paper is validated through comparison with existing methods, and implementation on various robotic systems---including trajectory optimization of the Spring Flamingo robot, the LittleDog robot and the Atlas robot. The results illustrate that the same integrator can be used for simulation and trajectory optimization in robotics, preserving mechanical properties while achieving good scalability and accuracy.

연구 동기 및 목표

• 고차수 자유도를 가진 로봇 시스템을 사용한 고차수 변분 적분법을 시뮬레이션하고 최적화할 때 발생하는 계산 병목 현상을 해결한다.
• 기존 방법이 뉴턴 방향을 계산하고 이산 오일러-라그랑주(DEL) 방정식을 선형화할 때 초과 선형 복잡도(O(n³))를 가지는 문제를 해결한다.
• 이산 오일러-라그랑주 방정식을 평가하고 뉴턴 방향을 계산하기 위한 O(n) 알고리즘을 개발하여 효율적이고 고차수의 통합을 가능하게 한다.
• 궤적 최적화에 필수적인 DEL 방정식의 선형화를 O(n²) 시간 내에 수행할 수 있는 알고리즘을 제공한다.
• 동일한 고차수 변분 적분법이 시뮬레이션과 최적화 모두에 사용될 수 있으며, 기계적 관점에서의 보존 법칙을 유지할 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 나무 구조를 가진 기계 시스템과 재귀 알고리즘을 활용하여 공간적 자이로스코프와 질량 특성을 효율적으로 계산한다.
• 중력 잠재 에너지 헤시안과 그 도함수를 O(n²) 시간 내에 계산하기 위해 재귀적 정방향 및 역방향 스윕을 도입한다.
• 고체 물체 운동을 표현하기 위해 리 군 표현을 사용하여 구성과 속도를 수치적으로 안정적인 방식으로 표현한다.
• 중력 잠재 에너지의 헤시안을 재귀 알고리즘으로 계산하여 DEL 방정식의 O(n²) 선형화를 가능하게 한다.
• 재귀 스윕을 통해 이산 오일러-라그랑주 방정식을 평가하고 뉴턴 방향을 계산하기 위한 O(n) 알고리즘을 설계한다.
• 밀도 없는 행렬 연산을 피하기 위해 트리 기반 구조 내에서 기호적 및 알고리즘적 미분을 활용하여 선형 복잡도를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다수의 자유도를 가진 로봇 시스템에서 고차수 변분 적분법을 선형 시간 내에 계산할 수 있는가?
• RQ2 고차수 변분 적분법에서 이산 오일러-라그랑주 방정식을 풀기 위한 뉴턴 방향을 O(n) 시간 내에 계산할 수 있는가?
• RQ3 DEL 방정식의 선형화가 O(n²) 시간 내에 수행될 수 있는가? 이를 통해 효율적인 궤적 최적화가 가능할까?
• RQ4 제안된 알고리즘이 선형 시간 복잡도를 확보하면서도 심플렉틱성, 운동량 및 에너지 보존을 유지하는가?
• RQ5 동일한 고차수 적분법이 복잡한 로봇 시스템에서 시뮬레이션과 궤적 최적화 모두에 효과적으로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 이산 오일러-라그랑주 방정식을 평가하고 뉴턴 방향을 계산하기 위한 제안된 O(n) 알고리즘은 기계 시스템에 대해 알려진 바 없는 최초의 선형 시간 고차수 암시적 적분법을 가능하게 한다.
• DEL 방정식의 선형화를 위한 O(n²) 알고리즘은 고차수 정확도와 확장성을 갖춘 효율적인 궤적 최적화를 가능하게 한다.
• 특히 다수의 자유도를 가진 시스템에서 기존의 O(n³) 방법에 비해 뛰어난 계산 효율성을 확보한다.
• 스프링 플래밍고, 리틀독, 아틀라스 로봇에서의 검증을 통해 시뮬레이션 및 최적화 작업 모두에서 높은 정확도와 확장성을 입증하였다.
• 동일한 적분법이 시뮬레이션과 궤적 최적화 모두에 성공적으로 적용되었으며, 심플렉틱성 및 에너지 보존과 같은 기계적 관점의 보존 법칙을 유지하였다.
• 알고리즘 프레임워크는 실제로 임의의 고차수 변분 적분법을 사용할 수 있도록 이전의 계산적 장벽을 극복한다.