[논문 리뷰] Efficient computation of p-adic heights

David Harvey|ArXiv.org|2007. 08. 24.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유리수 위의 타원곡선에서 $p$-진 높이를 계산하는 데 있어 상당한 속도 향상을 제시한다. 특히 큰 $p$와 높은 $p$-진 정밀도에서 유의미한 성능 향상을 이룬다. 이는 Mazur, Stein, 그리고 Tate의 알고리즘을 개선하여 $p$-진 모듈러 형식 $\mathbf{E}_2$와 $p$-진 시그마 함수의 계산을 최적화함으로써 달성되었으며, $\mathbf{E}_2$ mod $p^N$에 대해 실행 시간을 $\widetilde{O}(pN^2)$로 줄였고, $p \sim 10^{11}$일지라도 수천 개의 $p$-진 자릿수를 실용적으로 계산할 수 있도록 하였다.

ABSTRACT

We analyse and drastically improve the running time of the algorithm of Mazur, Stein and Tate for computing the canonical cyclotomic p-adic height of a point on an elliptic curve E/Q, where E has good ordinary reduction at p >= 5.

연구 동기 및 목표

• 타원곡선의 $p$-진 높이를 계산하는 데 있어 원래의 Mazur–Stein–Tate 알고리즘에서 실행 시간의 경계가 부족한 문제를 해결한다.
• 소수 $p \geq 5$이면서 양호한 일반화된 감소를 가지는 경우, 높은 정밀도와 큰 소수에 대해 실용적인 $p$-진 높이 계산을 가능하게 한다.
• 주어진 정밀도 $M$에서 정확한 출력을 보장하기 위해 중간 계산 단계에서 필요한 최소한의 $p$-진 정밀도를 제공한다.
• 특히 큰 $p$와 높은 정밀도 설정에서의 알고리즘의 渐近 실행 시간을 최적화한다.
• 표준 하드웨어에서도 실행 가능한 방법을 확보하여 $p$-진 Birch와 Swinnerton-Dyer 추측 연구에의 적용을 지원한다.

제안 방법

• Monsky–Washnitzer 코hom로지에서의 프로베니우스 연산자 행렬을 계산하기 위해 Kedlaya의 알고리즘을 사용하여 $\mathbf{E}_2(E,\omega)$ mod $p^N$을 효율적으로 계산할 수 있도록 한다.
• 새로운 방법을 적용하여 $\mathbf{E}_2(E,\omega)$를 $\widetilde{O}(pN^2)$ 시간 내에 계산하고, $p > 6N$일 경우 $\widetilde{O}(p^{1/2}N^{5/2})$ 시간 내에 계산한다.
• $\mathbf{E}_2$를 활용하여 이상수 $I_N = (p^r, p^{r-1}t, \dots, t^r)$ 모듈로에서 차수 $N-1$까지의 $p$-진 시그마 함수 $\sigma_p(t)$를 계산한다.
• $\sigma_p(t)$ mod $I_N$를 $\widetilde{O}(N^2 \log p)$ 시간 내에 계산할 수 있으며, 이는 로그 인자 외에는 최적이다.
• $\sigma_p(t)$를 포함하는 정규화된 $p$-진 높이 공식을 사용하며, 원래 정규화와 비교해 $2p$의 보정 인자를 갖는다.
• 정리 3을 적용하여 $\sigma_p(t)$ mod $I_{M'+1}$ 가 주어졌을 때 $h_p(P)$ mod $p^M$을 $\widetilde{O}(C_P + M\log^2 p + M^2\log p)$ 시간 내에 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Mazur–Stein–Tate 알고리즘의 $p$-진 높이 계산에 대한 渐近 실행 시간은 무엇이며, 어떻게 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 큰 소수 $p$와 높은 $p$-진 정밀도에서 $\mathbf{E}_2(E,\omega)$의 계산을 어떻게 가속화할 수 있는가?
• RQ3 $I_N$ 모듈로에서 $p$-진 시그마 함수를 효율적으로 계산할 수 있는 방법은 무엇이며, 최적의 시간 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 주어진 정밀도 $M$에서 정확한 출력을 보장하기 위해 중간 단계에서 필요한 최소한의 $p$-진 정밀도는 얼마인가?
• RQ5 $p \sim 10^{11}$ 또는 $M \sim 3000$ 자릿수일 때, 유리점의 $p$-진 높이를 실용적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• $\mathbf{E}_2(E,\omega)$ mod $p^N$의 계산은 $\widetilde{O}(pN^2)$ 시간 내에 수행할 수 있으며, $p > 6N$일 경우 $\widetilde{O}(p^{1/2}N^{5/2})$ 시간 내에 수행할 수 있어 이전 방법보다 크게 향상되었다.
• $\sigma_p(t)$의 $I_N$ 모듈로 계산은 $\widetilde{O}(N^2 \log p)$ 시간 내에 수행되며, 이는 로그 인자 외에는 최적이다.
• $p = 10^{11} + 3$ 이고 $M = 6$일 경우, $\mathbf{E}_2$ 계산은 42분 이내에 완료되고 최종 높이 계산은 거의 즉각적으로 이루어져 원래 방법에서 요구하는 $10^{22}$-비트 저장소를 피할 수 있었다.
• $p = 5$ 이고 $M = 3000$일 경우, $\mathbf{E}_2$ 계산은 229초, $\sigma_p(t)$ 계산은 158초, $h_p(P)$ 계산은 6초 내에 완료되어 고정밀도에서의 실용성을 입증하였다.
• 원래 알고리즘에서 요구하는 $M^4$ 비용의 멱급수 전개를 피함으로써 고정밀도 케이스의 실행 시간을 최대 $10^7$ 배까지 감소시켰다.
• 알고리즘은 SAGE에 구현되어 무료로 이용 가능하며, $p$-진 $L$-함수 및 조정자 계산 응용 분야에서 실용적 사용을 지원한다.