[논문 리뷰] Efficient energy-preserving numerical approximations for the sine-Gordon equation with Neumann boundary conditions

Qi Hong, Yushun Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 23.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 43인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 노이만 경계 조건을 가진 시그마-골드론 방정식에 대해 완전히 이산화된 에너지 보존 방법의 두 가지 새로운 클래스를 제안한다.余弦 가짜 스펙트럴 공간 이산화와 투영 또는 보조 변수 방법을 동반한 예측-수정 크랭크-니콜슨 시간 스킴을 사용하여, 고차 정확도와 정확한 에너지 보존을 달성하였으며, 뛰어난 안정성과 효율성을 보여주는 수치 벤치마크를 통해 검증되었다.

ABSTRACT

We present two novel classes of fully discrete energy-preserving algorithms for the sine-Gordon equation subject to Neumann boundary conditions. The cosine pseudo-spectral method is first used to develop structure-preserving spatial discretizations under two different meshes, which result two finite-dimensional Hamiltonian ODE systems. Then we combine the prediction-correction Crank-Nicolson scheme with the projection approach to arrive at fully discrete energy-preserving methods. Alternatively, we introduce a supplementary variable to transform the initial model into a relaxation system, which allows us to construct structure-preserving algorithms more easily. We then discretize the relaxation system directly by using the cosine pseudo-spectral method in space and the prediction-correction Crank-Nicolson scheme in time to derive a new class of energy-preserving schemes. The proposed methods can be solved effectively by the discrete Cosine transform. Some benchmark examples and numerical comparisons are presented to demonstrate the accuracy, efficiency and superiority of the proposed schemes.

연구 동기 및 목표

• 노이만 경계 조건 하에서 시그마-골드론 방정식의 해밀토니안 에너지를 정확히 보존하는 구조 보존 수치 방법을 개발하기.
• 기존의 에너지 보존 방법이 전적으로 비선형적이거나 암시적이거나 수정된 에너지 법칙 뿐만을 보존하는 등의 한계를 극복하기.
• 원래의 에너지 보존 법칙을 수정 없이 유지하는 효율적이고 고차 정확도의 스킴을 구축하기.
• 기본 해밀토니안 시스템의 기하학적 구조를 보존함으로써 장기적인 안정적 시뮬레이션을 가능하게 하기.
• 복잡한 역학, 예를 들어 솔리톤 충돌을 포함한 2차원 시그마-골드론 문제에 에너지 보존 방법의 적용 범위를 확장하기.

제안 방법

• 중점 격자와 등간격 격자 두 가지에서 여측 가짜 스펙트럴 방법을 사용한 공간 이산화로, 반산화 해밀토니안 상미분방정식 시스템을 도출한다.
• 에너지 투영 기법과 결합된 예측-수정 크랭크-니콜슨 스킴을 적용하여 완전히 이산화된 에너지 보존 스킴을 도출한다.
• 원래 시스템을 리듬화 시스템으로 재구성하기 위해 보조 변수를 도입하여, 더 단순한 구조 보존 알고리즘 설계를 가능하게 한다.
• 공간에 여측 가짜 스펙트럴 방법과 시간에 크랭크-니콜슨 스킴을 적용하여 리듬화 시스템을 이산화함으로써, 새로운 에너지 보존 스킴의 클래스를 도출한다.
• 결과로 생기는 선형 시스템을 효율적으로 해결하기 위해 이산 코사인 변환(DCT)을 사용하여 계산 비용을 감소시킨다.
• 각 시간 단계에서 스칼라 비선형 방정식 하나를 푸는 데 뉴턴 반복을 구현하였으며, 주 계산에 비해 계산 비용이 극히 낮아지므로 방법의 확장성과 실용성이 높아진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노이만 경계 조건을 가진 2차원 시그마-골드론 방정식에 대해 원래 에너지를 수정 없이 정확히 보존하는 에너지 보존 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 해밀토니안 구조와 에너지 보존을 유지하면서도 고차 공간 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 보조 변수 방법이 시그마-골드론 방정정의 에너지 보존 스킴 설계를 단순화할 수 있는가?
• RQ4 기존의 에너지 보존 또는 심플렉틱 방법과 비교해 본다면, 제안된 스킴의 정확도, 효율성, 에너지 보존 성능은 어떠한가?
• RQ5 다양한 보조 함수 $ g[u,v] $ 가 장기 시뮬레이션에서 수치적 행동과 에너지 보존에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 스킴은 시간에 대해 2차 수렴을 보이며 공간에 대해 스펙트럴 정확도를 확보하여 고차 시간 및 공간 수렴률을 입증한다.
• 에너지 오차는 $ \mathcal{O}(\tau^2) $ 수준을 유지하여 뛰어난 장기적 에너지 보존 성능을 보여준다.
• 보조 변수 $ \beta(t) $ 는 0에 매우 가까이 유지되며, 크기가 $ \mathcal{O}(\tau^2) $ 수준이어서 리듬화 공식화의 타당성을 확인한다.
• 라그랑주 승수 $ \lambda(t) $ 는 0 근처에서 진동하며, 투영 방법의 일致성을 뒷받침한다.
• 네 개의 고리 솔리톤 충돌을 포함한 솔리톤 충돌에 대한 수치 결과는 기존의 벤치마크와 정성적으로 일치하며, 파동 역학의 뛰어난 보존 성능을 보여준다.
• 스킴은 계산적으로 효율적이며, 비선형 해법은 각 시간 단계에서 스칼라 뉴턴 반복 하나만 필요로 하여 방법의 확장성과 실용성이 높다.