[논문 리뷰] Efficient enumeration of solutions produced by closure operations

Arnaud Mary, Yann Strozecki|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 18.

Formal Methods in Verification참고 문헌 35인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 이분법 벡터 위에서 폐쇄 연산에 의해 생성되는 모든 원소를 다항 시간 지연을 가지는 알고리즘으로 열거하는 방법을 제시한다. 백트래킹 검색과 폐쇄 내부에 속하는지 여부를 판단하는 결정 절차를 사용한다. 주요 기여는 이분법 도메인에서 임의의 연산 집합에 대해 폐쇄 멤버십 문제의 결정 가능성이 다항 시간 내에 보장됨을 증명한 것이다. 이는 합집합, 교집합, 대칭차, 기타 집합 연산에 대해 닫혀 있는 해를 효율적으로 열거할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

In this paper we address the problem of generating all elements obtained by the saturation of an initial set by some operations. More precisely, we prove that we can generate the closure by polymorphisms of a boolean relation with a polynomial delay. This implies for instance that we can compute with polynomial delay the closure of a family of sets by any set of "set operations" (e.g. by union, intersection, difference, symmetric difference$\dots$). To do so, we prove that for any set of operations $\mathcal{F}$, one can decide in polynomial time whether an elements belongs to the closure by $\mathcal{F}$ of a family of sets. When the relation is over a domain larger than two elements, our generic enumeration method fails for some cases, since the associated decision problem is $NP$-hard and we provide an alternative algorithm.

연구 동기 및 목표

• 이분법 벡터 위에서 폐쇄 연산에 의해 생성되는 모든 원소를 다항 시간 지연을 가지는 알고리즘으로 열거하는 것.
• 이분법 도메인에서 다양한 연산 집합에 대해 폐쇄 멤버십 문제의 복잡도를 규명하는 것.
• 기존의 폐쇄 열거 방법(예: 그래프나 초그래프에서의 사이클)을 일반화된 프레임워크로 확장하는 것.
• 도메인이 두 개를 초과할 경우 멤버십 문제가 NP-난이도가 되므로, 효율적 열거의 한계를 탐색하는 것.

제안 방법

• 포스트의 래티스와 클론 간의 축소를 이용해 폐쇄 문제의 복잡도를 분류하는 것.
• 다항 시간 지연을 가지는 백트래킹 검색 알고리즘 설계.
• 이분법 도메인에서는 임의의 연산 집합에 대해 폐쇄 멤버십 문제가 P에 속하므로, 이는 효율적 열거를 가능하게 한다는 사실을 활용하는 것.
• 폐쇄 원소들 위에 방향 그래프를 구성하고, 연산 적용을 간선으로 표현한 후 깊이 우선 탐색을 수행하여 해를 열거하는 것.
• 이미 생성된 해 집합을 유지하기 위해 자가 균형 임의의 검색 트리를 사용하여 중복을 방지하고 다항 시간 내 멤버십 검사를 수행하는 것.
• 더 큰 도메인에서의 결합 법칙을 만족하는 함수에 대해서는, 멤버십 문제가 NP-난이도이더라도 공간이 해의 수에 비례해 증가할 경우 다항 시간 지연을 달성할 수 있는 공간 비례 알고리즘을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 연산 집합에 대해 이분법 벡터 집합의 폐쇄는 다항 시간 지연을 가지는 알고리즘으로 열거할 수 있는가?
• RQ2 이분법 도메인에서 임의의 연산 집합에 대해 폐쇄 멤버십 문제는 다항 시간 내에 결정 가능한가?
• RQ3 도메인이 두 개를 초과할 경우 폐쇄 멤버십 문제의 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ4 충분한 공간이 확보되어 있다면 멤버십 문제가 NP-난이도일 경우에도 다항 시간 지연 열거가 가능할 수 있는가?
• RQ5 역방향 탐색 방법을 수정하여 단조 폐쇄 연산에 대해 다항 시간 공간과 다항 시간 지연을 동시에 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 이분법 도메인에서 임의의 연산 집합에 대해 폐쇄 멤버십 문제는 다항 시간 내에 결정 가능하므로, 이는 효율적 열거를 가능하게 한다.
• 제안된 알고리즘은 다항 시간 지연을 가지며 모든 폐쇄 원소를 열거한다. 이는 난이도 높은 포화 방법에 비해 크게 향상된 성능을 보인다.
• 이 방법은 기존의 결과를 일반화한다. 예를 들어 초그래프의 합집합 및 교집합에 대한 폐쇄, 대칭차를 통한 사이클 생성 등.
• 더 큰 도메인에서의 결합 법칙을 만족하는 함수에 대해서는, 공간이 해의 수에 비례해 증가할 경우 다항 시간 지연 열거 알고리즘이 존재한다.
• 해의 수가 지수적으로 증가하더라도, 백트래킹 검색 방법만으로도 이분법 폐쇄 문제에 대해 다항 시간 지연을 달성할 수 있다.
• 이 프레임워크는 폐쇄 원소 중 최소 원소(예: 이진 매트로이드의 서킷)만을 제한하여 열거함으로써 최소 원소를 생성하는 데에도 활용할 수 있다.