[논문 리뷰] Efficient Hamiltonian Simulation for Solving Option Price Dynamics

Javier Gonzalez-Conde, Ángel Rodríguez‐Rozas외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 해밀토니안 시뮬레이션을 통해 블랙-숄즈 편미분방정식을 슈뢰딩거 방정식으로 매핑함으로써 금융 파생상품 가격 결정에서의 블랙-숄즈 편미분방정식을 해결하는 디지털 양자 알고리즘을 제시한다. 비에르미트 해밀토니안을 더 큰 하이젠베르크 공간에 임bed하기 위해 보조 큐비트 한 개를 사용하고, 시뮬레이션의 안정성을 높이기 위해 이산화된 운동량 연산자에 주기적 경계 조건을 적용함으로써, 고장 내성 양자 컴퓨터에서 9 큐비트로 고전적 수준의 정확도를 달성하고 후선택 성공 확률이 60%를 초과한다.

ABSTRACT

Pricing financial derivatives, in particular European-style options at different time-maturities and strikes, means a relevant problem in finance. The dynamics describing the price of vanilla options when constant volatilities and interest rates are assumed, is governed by the Black-Scholes model, a linear parabolic partial differential equation with terminal value given by the pay-off of the option contract and no additional boundary conditions. Here, we present a digital quantum algorithm to solve Black-Scholes equation on a quantum computer by mapping it to the Schrödinger equation. The non-Hermitian nature of the resulting Hamiltonian is solved by embedding its propagator into an enlarged Hilbert space by using only one additional ancillary qubit. Moreover, due to the choice of periodic boundary conditions, given by the definition of the discretized momentum operator, we duplicate the initial condition, which substantially improves the stability and performance of the protocol. The algorithm shows a feasible approach for using efficient Hamiltonian simulation techniques as Quantum Signal Processing to solve the price dynamics of financial derivatives on a digital quantum computer. Our approach differs from those based on Monte Carlo integration, exclusively focused on sampling the solution assuming the dynamics is known. We report expected accuracy levels comparable to classical numerical algorithms by using 9 qubits to simulate its dynamics on a fault-tolerant quantum computer, and an expected success probability of the post-selection procedure due to the embedding protocol above 60%.

연구 동기 및 목표

• 디지털 양자 계산을 사용하여 금융 파생상품 가격 결정에서의 블랙-숄즈 편미분방정식을 해결하기 위한 양자 알고리즘을 개발한다.
• 블랙-숄즈 방정식에서 발생하는 비에르미트 해밀토니안 문제를 확대된 하이젠베르크 공간에 유니타리 임베딩을 통해 해결한다.
• 이산화된 운동량 연산자에 주기적 경계 조건을 적용하여 수치적 안정성과 성능을 향상시킨다.
• 고장 내성 양자 컴퓨터에서 최소한의 큐비트 수(9 큐비트)로 고전적 수치 해법과 비교할 만한 타당성과 정확도를 입증한다.
• 시간 또는 가격에 따라 변동성이 변화하는 복잡한 편미분방정식으로의 방법 확장 기반을 마련한다.

제안 방법

• 블랙-숄즈 편미분방정식을 비에르미트 해밀토니안에 따른 유니타리 동역학으로 재해석함으로써 슈뢰딩거 방정식으로 매핑한다.
• 보조 큐비트 한 개를 사용하여 비에르미트 해밀토니안을 더 큰 하이젠베르크 공간에 임베딩함으로써 유니타리 시간 진화를 가능하게 한다.
• 이산화된 운동량 연산자에 주기적 경계 조건을 적용하여 초기 상태의 복제를 가능하게 하고 시뮬레이션의 안정성을 향상시킨다.
• 시간에 따른 양자 상태 진화를 효율적으로 수행하기 위해 양자 신호 처리 기법을 활용한 해밀토니안 시뮬레이션을 수행한다.
• 최종 상태를 원하는 계산 하위공간으로 투영하기 위해 후선택을 구현하며, 이때 보조 큐비트가 |0⟩로 측정되도록 한다.
• 최종 상태를 정규화 조건에서 유도된 인자 Λ를 사용하여 정규화하여 옵션 가격을 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비에르미트 성격을 지닌 블랙-숄즈 편미분방정식이 디지털 양자 컴퓨터에서 해밀토니안 시뮬레이션 기법을 통해 효율적으로 시뮬레이션될 수 있는가?
• RQ2 블랙-숄즈 방정식에서 유도된 비에르미트 해밀토니안을 최소한의 큐비트 오버헤드로 유니타리 진화 프레임워크에 통합할 수 있는가?
• RQ3 주기적 경계 조건이 금융 편미분방정식의 양자 시뮬레이션 안정성과 정확도에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ4 이 양자 알고리즘이 오직 9 큐비트로만 사용하여 고전적 수치 해법과 비교할 수 있는 정도의 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ5 이 접근 방식은 확률적 또는 공간적으로 의존하는 변동성을 지닌 더 복잡한 편미분방정식으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 고장 내성 양자 컴퓨터에서 블랙-숄즈 방정식을 시뮬레이션할 때, 이 알고리즘은 고전적 수치 해법과 비교해 유사한 수준의 수치 정밀도를 달성한다.
• 보조 큐비트 한 개의 사용은 비에르미트 해밀토니안을 효과적으로 유니타리 진화에 통합할 수 있게 하여 안정적인 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 보조 큐비트를 |0⟩ 상태로 측정할 수 있는 후선택 성공 확률이 60%를 초과하여 프로토콜의 높은 효율성을 나타낸다.
• 주기적 경계 조건으로 인한 초기 조건의 복제로 인해 시뮬레이션의 안정성과 성능이 크게 향상된다.
• 해당 방법은 해석적 해가 존재하지 않는 시간 또는 가격에 따라 변동성이 변화하는 모델로도 확장 가능하여 의미 있는 수치적 접근을 제공한다.
• 경계 조건과 수익 구조를 수정함으로써 이 프레임워크는 아메리칸 및 아시안 옵션과 같은 다른 금융 파생상품의 시뮬레이션에도 적용 가능하다.