[논문 리뷰] Efficient implementation of finite element methods on non-matching and overlapping meshes in 3D

André Massing, Mats G. Larson외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 26.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 42인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 3차원에서 비일치하거나 겹치는 메시를 사용할 때 니츠에 방법의 효율적이고 일반적인 구현을 제시한다. 계산 기하 알고리즘을 활용하여 메시의 교차 검출 및 잘린 셀 위의 적분을 수행한다. 표준 유한요소법(FEM) 대비 약 2배의 성능 오버헤드만을 유발하며 최적 수렴 속도를 달성하여 복잡한 문제, 예를 들어 유체-구조 상호작용과 겹치는 영역에서의 탄성 문제의 안정적인 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In recent years, a number of finite element methods have been formulated for the solution of partial differential equations on complex geometries based on non-matching or overlapping meshes. Examples of such methods include the fictitious domain method, the extended finite element method, and Nitsche's method. In all of these methods, integrals must be computed over cut cells or subsimplices which is challenging to implement, especially in three space dimensions. In this note, we address the main challenges of such an implementation and demonstrate good performance of a fully general code for automatic detection of mesh intersections and integration over cut cells and subsimplices. As a canonical example of an overlapping mesh method, we consider Nitsche's method which we apply to Poisson's equation and a linear elastic problem.

연구 동기 및 목표

• 3차원 유한요소법에서 비일치하거나 겹치는 메시가 형성하는 복잡한 잘린 셀에 대한 적분을 해결하는 계산적 도전 과제를 해결하기 위해.
• 겹치는 메시 기법을 사용하여 복잡하거나 시간에 따라 변하는 기하 구조에서 PDE의 안정적이고 고차 정확도의 해를 도출하기 위해.
• 계산 기하학에서 유래한 효율적인 알고리즘들을 FEniCS/DOLFIN 유한요소 프레임워크에 개발하고 통합하여 더 넓은 커뮤니티에서의 사용을 가능하게 하기 위해.
• 선형 탄성 및 유체-구조 상호작용과 같은 도전적인 3차원 문제에서 니츠에 기반한 방법의 실현 가능성과 성능을 입증하기 위해.
• 미래의 응용을 위해 FEniCS에서 니츠에 형식의 자동 코드 생성 기반을 마련하기 위해.

제안 방법

• 겹치는 삼각형 메시 간의 교차를 효율적으로 탐지하기 위해 트리 기반 검색 구조를 사용한다.
• CGAL, GTS와 같은 계산 기하학 라이브러리를 DOLFIN에 래핑하여 메시 교차로 생성된 복잡한 다면체 잘린 셀을 계산한다.
• 발산 정리를 잠재 함수와 함께 적용하여 잘린 셀 위의 3차원 체적 적분을 1차원 선 위의 적분으로 감소시켜 효율적인 적분을 가능하게 한다.
• 대칭화된 일致성 항과 페널티 항을 사용하여 니츠의 방법을 구현하여 경계에서의 연속성과 유량 균형을 약한 형태로 강제한다.
• 겹치는 메시와 배경 메시 위에서 정의된 연속적인 조각다항식 함수의 직접 합으로 이루어진 유한요소 공간을 사용한다.
• 기하 기하학적 원소와 적응형 사다리꼴 적분을 사용하여 하위단순체 및 잘린 셀 위의 적분을 통해 약한 형식의 어셈블리 과정을 자동화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 유한요소법에서 임의로 복잡한 잘린 셀에 대한 메시 교차 검출 및 적분을 어떻게 효율적으로 구현할 수 있는가?
• RQ2 일치하는 메시를 사용하는 표준 FEM 대비 겹치는 메시를 사용할 때 니츠의 방법에 따른 계산 오버헤드는 어느 정도인가?
• RQ3 겹치는 메시에서 니츠의 방법을 사용하여 3차원에서 고차 다항식 근사에 대해 최적 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ4 큐브 내에 프로펠러 모양의 포함체가 있는 복잡한 기하 구조에서 이 방법의 성능은 어떠한가?
• RQ5 이 구현은 FEniCS와 같은 고수준 FEM 프레임워크에서의 사용을 위해 일반화되고 자동화될 수 있는가?

주요 결과

• 이 구현은 3차원에서 겹치는 메시를 사용할 때 푸아송 방정식과 선형 탄성 문제 모두에 대해 최적의 수렴 순서를 달성한다.
• 겹치는 메시 방법의 계산 오버헤드는 표준 FEM 어셈블리 대비 약 두 배이며, 메시 크기가 증가할수록 이 비율은 감소한다.
• 이 방법은 프로펠러 모양의 포함체를 포함한 복잡한 시간에 따라 변하는 기하 구조를 효과적으로 처리하며, 경계를 넘어서도 변위장의 부드러운 전이를 보여준다.
• 잘린 셀 위의 적분은 발산 정리와 기하학적 잠재함수를 통해 3차원에서 1차원 적분으로 감소시켜 효율적으로 계산된다.
• 이 방법은 XFEM, 임마ージ드 인터페이스 방법, 겹치는 메시에서의 불연속 갈레르킨 형식 등 다른 방법에도 일반적으로 적용 가능하다.
• CGAL과 GTS의 DOLFIN 통합은 유한요소 커뮤니티를 위한 강력하고 재사용 가능하며 접근 가능한 도구를 제공한다.