[논문 리뷰] Efficient Independence Testing for Quantum states

Nengkun Yu|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 44인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 집합 측정과 독립 측정을 모두 사용하여 양자 상태의 동일성과 독립성에 대한 효율적인 테스터를 제시한다. 다중부분계 독립성의 집합 측정에 대해 날카로운 복제 복잡도 경계를 확립한다: $\tilde{O}(\frac{\Pi d_i}{\epsilon^2})$ 복제, 독립 측정에 대해서는 $O(\frac{\Pi d_i^2}{\epsilon^2})$ 복제이며, 이는 고전-양자 시스템에서의 조건부 독립성 테스팅에 응용된다.

ABSTRACT

We provide simple and efficient testers of problems about quantum independence by collective measurements and independent measurements, respectively. We show that given mixed states $ ho,\sigma\in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d})$, $O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ copies are sufficient to test whether $ ho=\sigma$ using independent measurements. Together with the identity tester in collective measurements setting \cite{BOW17}, we prove the following. Given multipartite mixed state $ ho\in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1}\otimes \mathbb{C}^{d_2}\otimes\cdots\otimes\mathbb{C}^{d_m})$, $ ilde{O}(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i}{\epsilon^2})$ copies are sufficient and necessary to test whether $ ho$ is independent, i.e., in the tensor product form, by collective measurements, and $O(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i^2}{\epsilon^2})$ copies are sufficient by independent measurements. Given $ ho_1, ho_2, \cdots, ho_n\in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d})$ in the query model, and $O(\frac{d}{\epsilon^2})$ copies are sufficient and necessary to test whether $ ho_i$s are all identical by collective measurements, $O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ copies are sufficient by independent measurements. Given $ ho_1, ho_2, \cdots, ho_n\in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1}\otimes \mathbb{C}^{d_2}\otimes\cdots\otimes\mathbb{C}^{d_m})$, $ ilde{O}(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i}{\epsilon^2})$ copies are sufficient and necessary to test whether $ ho_i$s are independent by collective measurements, and $O(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i^2}{\epsilon^2})$ copies are sufficient by independent measurements. The identity testing and independence testing in $\mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1}\otimes \mathbb{C}^{d_2})$ can be accomplished with $O(\frac{d_1^2d_2^2}{\epsilon^2})$ copies using just local measurements, respectively. This technique is used to provide efficient testers of conditional independence for classical-quantum-quantum states.

연구 동기 및 목표

• 최소한의 양자 상태 복제를 사용하여 양자 상태의 독립성과 동일성에 대한 효율적인 테스터를 개발하기 위해.
• 양자 상태 테스팅에서 집합 측정과 독립 측정의 성능을 비교하기 위해.
• 다중부분계 및 이중부분계 시스템에서 독립성 및 동일성 테스팅에 필요한 복제 수의 날카로운 상한과 하한을 확립하기 위해.
• 고전-양자-양자 상태에 대한 조건부 독립성 테스팅으로 프레임워크를 확장하기 위해.
• 다양한 측정 모델과 상태 유형 간의 복제 복잡도를 통합적으로 분석하기 위해.

제안 방법

• 다중부분계 혼합 상태가 텐서 tích의 형태(독립적)인지 여부를 확인하기 위해 집합 측정을 사용하여 $\tilde{O}(\frac{\Pi d_i}{\epsilon^2})$ 복제 복잡도를 달성한다.
• 두 혼합 상태 $\rho, \sigma \in \mathcal{D}(\mathbb{C}^d)$ 간의 동일성을 테스트하기 위해 독립 측정을 적용하여 $O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ 복제가 필요하다.
• BOW17의 동일성 테스터를 집합 측정 설정에 적용하여 독립성 테스팅에 대한 복제 복잡도 경계를 유도한다.
• 질의 모델에서 $n$개의 상태가 모두 동일한지 여부를 테스트하기 위해, 집합 측정으로는 $O(\frac{d}{\epsilon^2})$ 복제, 독립 측정으로는 $O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ 복제가 필요하다.
• 국소 측정을 사용하여 고전-양자-양자 상태에 대한 조건부 독립성 테스팅으로 프레임워크를 확장한다.
• 다양한 부분계에서 $n$개 상태의 독립성 테스팅을 집합 측정 및 독립 측정 설정 모두에서 분석하여 복제 복잡도 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 집합 측정을 사용하여 다중부분계 양자 상태 $\rho \in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{C}^{d_m})$ 가 독립적(즉, 텐서 tích 형태)인지 테스트하는 데 최적의 복제 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 독립 측정을 사용할 때, 복제 복잡도는 시스템 차원에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ3 독립 측정을 사용하여 두 혼합 상태 $\rho, \sigma \in \mathcal{D}(\mathbb{C}^d)$ 간의 동일성을 테스트하기 위해 필요한 최소 복제 수는 얼마인가?
• RQ4 국소 측정만으로도 이중부분계 시스템에서 효율적인 독립성 테스팅을 달성할 수 있는가?
• RQ5 프레임워크는 어떻게 고전-양자-양자 상태에서의 조건부 독립성 테스팅으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 다중부분계 상태 $\rho \in \mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{C}^{d_m})$ 의 독립성 테스팅에 대해, 집합 측정을 사용할 경우 $\tilde{O}(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i}{\epsilon^2})$ 복제가 충분하고 필수적이다.
• 독립 측정을 사용할 경우, 다중부분계 독립성 테스팅에 $O(\frac{\Pi_{i=1}^m d_i^2}{\epsilon^2})$ 복제가 충분하다.
• 두 혼합 상태 $\rho, \sigma \in \mathcal{D}(\mathbb{C}^d)$ 간의 동일성 테스팅에 대해, 독립 측정을 사용할 경우 $O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ 복제가 충분하다.
• 질의 모델에서 $n$개의 상태 $\rho_1, \dots, \rho_n$ 가 모두 동일한지 여부를 테스트하기 위해, 집합 측정으로는 $O(\frac{d}{\epsilon^2})$ 복제, 독립 측정으로는 $O(\frac{d^2}{\epsilon^2})$ 복제가 필요하다.
• 이중부분계 시스템 $\mathcal{D}(\mathbb{C}^{d_1} \otimes \mathbb{C}^{d_2})$ 에서, 국소 측정만으로도 $O(\frac{d_1^2 d_2^2}{\epsilon^2})$ 복제로 독립성 테스팅을 달성할 수 있다.
• 프레임워크를 통해 국소 측정 기법을 사용하여 고전-양자-양자 상태의 조건부 독립성 테스팅을 효율적으로 수행할 수 있다.