[논문 리뷰] Efficient integration of gradient flow in lattice gauge theory and properties of low-storage commutator-free Lie group methods

Alexei Bazavov, Thomas Chuna|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 13.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 33인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 라티스 양자역학 이론에서 효율적인 기울기 흐름 통합을 위한 최적화된 저메모리 공식을 제안하며, 고전적 2N-메모리 룬게쿠타 방법과 기하학적 통합자 간의 관계를 활용한다. 조정된 3차 및 새로 구성된 4차 방법이 최소한의 코드 변경으로 계산 효율을 크게 향상시키며, 스케일 설정에서 백분율 이내 정밀도를 달성한다.

ABSTRACT

The smoothing procedure known as the gradient flow that suppresses ultraviolet fluctuations of gauge fields plays an important role in lattice gauge theory calculations. In particular, this procedure is often used for high-precision scale setting and renormalization of operators. The gradient flow equation is defined on the SU(3) manifold and therefore requires geometric, or structure-preserving, integration methods to obtain its numerical solutions. We examine the properties and origins of the three-stage third-order explicit Runge-Kutta Lie group integrator commonly used in the lattice gauge theory community, demonstrate its relation to 2N-storage classical Runge-Kutta methods and explore how its coefficients can be tuned for optimal performance in integrating the gradient flow. We also compare the performance of the tuned method with two third-order variable step size methods. Next, based on the recently established connection between low-storage Lie group integrators and classical 2N-storage Runge-Kutta methods, we study two fourth-order low-storage methods that provide a computationally efficient alternative to the commonly used third-order method while retaining the convenient iterative property of the latter. Finally, we demonstrate that almost no coding effort is needed to implement the low-storage Lie group methods into existing gradient flow codes.

연구 동기 및 목표

• SU(3) 다양체에서의 기울기 흐름 통합을 위한 계산 효율을 향상시키기 위해 라티스 양자역학 이론에서의 효율성을 높이기 위한 목표.
• 저메모리 고전적 룬게쿠타 방법과 공식이 없는 리 군 통합자 간의 연결 고리 탐색.
• 세계적으로 널리 사용되는 3차 방법의 효율적 대안으로서의 고차수(4차) 저메모리 리 군 방법 개발 및 벤치마킹.
• 기존 기울기 흐름 코드에 이러한 방법들을 통합하는 데 거의 추가적인 코딩 노력이 필요하지 않음을 입증하는 것.

제안 방법

• 고전적 2N-메모리 명시적 룬게쿠타 방법과 공식이 없는 리 군 통합자 간의 기존 연결 고리를 활용하여 SU(3)에서 기하학적 통합을 위한 계수를 유도한다.
• 표준 3단계 3차 리 군 통합자(LSCFRK3W6)의 계수를 기울기 흐름 통합에서 최적의 성능을 내기 위해 조정한다.
• 동일한 2N-메모리 프레임워크에 기반한 두 가지 새로운 4차 저메모리 리 군 방법을 구성하여 반복적 구조와 계산 효율성을 유지한다.
• 주어진 c2 및 c3 매개변수로부터 계수를 계산하기 위해 Mathematica 스크립트를 사용하여 해 공간의 체계적 탐색을 수행한다.
• 세 가지 라티스 엔sembles에서 가변 스텝 사이즈 3차 방법과 비교하여 조정된 3차 및 4차 방법의 성능을 평가한다.
• 윌슨 및 시먼직 게이지 작용을 사용하여 기울기 흐름 방정식의 수치적 통합을 통해 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적으로 사용되는 3단계 3차 리 군 통합자의 계수는 기울기 흐름 통합에서 더 나은 성능을 내기 위해 어떻게 최적화될 수 있는가?
• RQ2 고전적 2N-메모리 룬게쿠타 방법의 맥락에서 LSCFRK3W6 방법의 기원과 구조는 무엇인가?
• RQ3 3차 방법의 효율성과 반복적 성질을 유지하면서 4차 저메모리 리 군 통합자를 구성할 수 있는가?
• RQ4 조정된 3차 및 새로운 4차 방법의 성능와 정밀도는 기존의 가변 스텝 사이즈 3차 방법과 비교하여 어떻게 다른가?
• RQ5 기존 기울기 흐름 코드에 저메모리 리 군 통합자를 통합하는 데 거의 추가 구현 노력이 필요한가?

주요 결과

• 표준 3단계 3차 리 군 통합자(LSCFRK3W6)는 고전적 2N-메모리 룬게쿠타 방법에서 유도된 저메모리 공식이 없는 리 군 통합자임이 입증된다.
• LSCFRK3W6의 계수는 기울기 흐름 통합을 위해 최적화되어 라티스 엔셈블에서 더 높은 효율성과 정밀도를 달성한다.
• 두 가지 새로운 4차 저메모리 리 군 통합자가 성공적으로 구성되었으며, 3차 방법과 동일한 메모리 구조와 반복적 구조를 유지하면서도 더 높은 순서 정밀도를 제공한다.
• 수치적 결과는 조정된 3차 방법이 표준 가변 스텝 사이즈 3차 방법보다 효율성과 정밀도 측면에서 뛰어나다는 것을 보여준다.
• 기존 기울기 흐름 코드에 저메모리 리 군 통합자를 통합하는 데 거의 추가적인 코딩 노력이 필요하지 않으며, 원활한 통합이 가능하다.
• 고전적 2N-메모리 룬게쿠타 방법과 리 군 통합자 간의 연결 고리가 검증되었으며, 이를 바탕으로 라티스 양자역학 이론을 위한 새로운 효율적 통합자를 도출하였다.