[논문 리뷰] Efficient learning of ground & thermal states within phases of matter

Emilio Onorati, Cambyse Rouzé외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 30.

Quantum many-body systems인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 물질의 상 내에서 Gibbs/기본 상태를 학습하고 국부 관측치를 예측하기 위한 샘플 효율적인 알고리즘을 개발하며, Wasserstein(W1) 연속성, Lipschitz 관측치, 그리고 위상 중심 토모그래피를 통해 정확도와 시스템 크기를 지수적으로 향상시킨다.

ABSTRACT

We consider two related tasks: (a) estimating a parameterisation of a given Gibbs state and expectation values of Lipschitz observables on this state; and (b) learning the expectation values of local observables within a thermal or quantum phase of matter. In both cases, we wish to minimise the number of samples we use to learn these properties to a given precision. For the first task, we develop new techniques to learn parameterisations of classes of systems, including quantum Gibbs states of non-commuting Hamiltonians with exponential decay of correlations and the approximate Markov property. We show it is possible to infer the expectation values of all extensive properties of the state from a number of copies that not only scales polylogarithmically with the system size, but polynomially in the observable's locality -- an exponential improvement. This set of properties includes expected values of quasi-local observables and entropies. For the second task, we develop efficient algorithms for learning observables in a phase of matter of a quantum system. By exploiting the locality of the Hamiltonian, we show that $M$ local observables can be learned with probability $1-δ$ to precision $ε$ with using only $N=O\big(\log\big(\frac{M}δ\big)e^{polylog(ε^{-1})}\big)$ samples -- an exponential improvement on the precision over previous bounds. Our results apply to both families of ground states of Hamiltonians displaying local topological quantum order, and thermal phases of matter with exponential decay of correlations. In addition, our sample complexity applies to the worse case setting whereas previous results only applied on average. Furthermore, we develop tools of independent interest, such as robust shadow tomography algorithms, Gibbs approximations to ground states, and generalisations of transportation cost inequalities for Gibbs states.

연구 동기 및 목표

• 알려지지 않은 Gibbs 상태와 그 Lipschitz 관측값의 기대값을 효율적으로 학습하도록 동기를 부여하고 가능하게 한다.
• 상태 학습 및 위상 학습 방법을 상관의 지수적 감소와 일반화된 국소 구분 불가능성(GALI)을 갖는 열적 위상으로 확장한다.
• 물질의 모든 광범위한 특성 및 준 국소 관측치를 제한된 복제본으로 학습하는 샘플 복잡도를 감소시킨다.]
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제안 방법

• 감쇠하는 Gibbs 상태에 대한 토모그래피 알고리즘을 개발하여 파라미터를 W1 거리가 nε에 도달할 때까지 추정하고 로그/ polylog 샘플 복잡도로 수행한다.
• Lipschitz 관측치와 양자 Wasserstein 거리 W1을 활용하여 상태 복원과 광범위한 특성 추정 간의 연결 고리를 만든다.
• 지역적 축소 및 농도 인수를 통해 W1-거리의 광범위한 특성 및 비선형 함수(예: 엔트로피)의 기대값에 대한 제어를 보장하는 경계(bound)를 증명한다.
• 일반화된 근사 국소 구분 불가능성(GALI)을 도입하여 기댓값이 지수적 감소를 넘는 갭이 있는 기초 상태와 특정 열적 위상에 학습 보장을 확장하고 최악의 경우 보장도 가능하게 한다.
• 랜덤 매개변수에서의 상태 샘플로부터 매개변수의 전체 공간에 걸친 국소 관측치를 한정된 오차로 예측하는 매개변수화된 해밀토니안 가족에 대한 학습 알고리즘을 제공한다.
• 추정치를 구성하기 위해 신념 전달, 고전적 섀도 토모그래피, 매개변수 공간의 반농도를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시스템 크기에 대해 polylog의 수의 샘플로 알려지지 않은 Gibbs 상태의 매개변수를 학습하고 모든 광범위한 특성을 예측할 수 있는가?
• RQ2 비가환 해밀토니안, 고온 및 균일 클러스터링/마코프 조건에서 실현 가능한 샘플 복잡도로 Gibbs 상태 토모그래피를 확장할 수 있는가?
• RQ3 물질의 한 위상(열상 또는 기저 상태)을 가로질러 국소 관측치의 기대값을 기대값이 아니라 점별로 보장과 함께 학습할 수 있는가?
• RQ4 지효한 학습을 보장하는 최소한의 가정은 무엇인가(예: 상관의 지수적 감소, GALI 등)?
• RQ5 갭이 있는 기저 상태에서 열적 위상 및 그 밖으로 위상 학습을 확장하고 샘플 복잡도에 대한 견고한 경계를 갖도록 한다?

주요 결과

• Gibbs 상태 토모그래피는 N = O(log(1/δ) polylog(n) ε^-2) 샘플로 교환가능한 경우에 가능하며, 고온 또는 균일 클러스터링/마코프 조건 하에서는 비가환 경우로 확장된다.
• 상관의 지수적 감소하에서 O(polylog(n)) 복제본으로 광범위한 특성의 전체 집합을 추론할 수 있어 이전 경계에 비해 지수적으로 개선된다.
• 위상에서 샘플로부터 관측치를 학습할 수 있으며 N = O(log(M/δ) log(n/δ) e^{polylog(ε^-1)})로 균일 오차를 M개의 국부 항에 대해 보장한다.
• GALI 프레임워크는 갭이 있는 기저 상태 및 특정 열 상태로의 효율적 학습을 확장하고 N = O(log(M/δ) log(n/δ) e^{polylog(ε^-1)}) 샘플과 균일 오차 경계를 제공한다.
• 이 방법은 점별(평균이 아닌) 복구 보장을 제공하고 학습 성능을 Gibbs 상태의 Wasserstein-연속성 경계와 연결한다.
• 이 방법론은 강건한 섀도 토모그래피, Gibbs 근사 및 비가환 해밀토니언에 대한 운송 부등식 일반화를 결합한다.