[논문 리뷰] Efficient Learning of Quantum States Prepared With Few Non-Clifford Gates

Sabee Grewal, Vishnu Iyer외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 22.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 클리포드 게이트와 O(log n)개의 비클리포드 게이트로 준비된 순수 상태에 대한 두 가지 효율적인 양자 상태 톰그래피 알고리즘을 제안한다. 첫 번째 알고리즘은 최적의 효율성을 위해 얽힌 두 복사 측정을 사용하며, 두 번째 알고리즘은 다항 시간 오버헤드를 감수하고 단일 복사 측정을 사용한다. 양 알고리즘 모두 추적 거리 ε를 달성하기 위해 poly(n, 2^t, 1/ε)의 시간과 샘플을 사용하며, 비클리포드 게이트 수와 큐비트 수에 대해 효율적으로 스케일링된다.

ABSTRACT

We give a pair of algorithms that efficiently learn a quantum state prepared by Clifford gates and $O(\log n)$ non-Clifford gates. Specifically, for an $n$-qubit state $|ψ angle$ prepared with at most $t$ non-Clifford gates, our algorithms use $\mathsf{poly}(n,2^t,1/\varepsilon)$ time and copies of $|ψ angle$ to learn $|ψ angle$ to trace distance at most $\varepsilon$. The first algorithm for this task is more efficient, but requires entangled measurements across two copies of $|ψ angle$. The second algorithm uses only single-copy measurements at the cost of polynomial factors in runtime and sample complexity. Our algorithms more generally learn any state with sufficiently large stabilizer dimension, where a quantum state has stabilizer dimension $k$ if it is stabilized by an abelian group of $2^k$ Pauli operators. We also develop an efficient property testing algorithm for stabilizer dimension, which may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 비클리포드 게이트 수가 적은 순수 상태에 대한 효율적인 양자 상태 톰그래피 알고리즘을 개발하기 위해.
• d차원 상태에 대해 표준 Θ(d) 스케일링을 초월하여 상태 학습의 샘플 및 시간 복잡도를 감소시키기 위해.
• 스테이블라이저 상태뿐 아니라 큰 스테이블라이저 차원을 가진 상태로의 학습 일반화를 위해.
• 스테이블라이저 차원을 테스트하기 위한 성질 테스팅 알고리즘을 서브루틴으로 제공하기 위해.
• 적은 비클리포드 게이트 수를 가진 회로를 구성하여 목표 상태를 준비할 수 있는 적절한 학습 가능성 탐구하기 위해.

제안 방법

• 상태의 스테이블라이저 차원을 정의하는 데 사용되는, 그 스테이블라이저 군의 크기의 로그를 기반으로 한다.
• F2^n 위에서의 심플렉틱 선형 대수학을 사용하여, pψ- 또는 qψ-질량이 높은 부분공간을 찾는 것으로 상태 톰그래피를 축소한다.
• 벨 차이 샘플링을 활용하여 상태의 웨일 계수를 추정함으로써, 엽킨 측정을 통한 효율적 학습을 가능하게 한다.
• 계산 차이 샘플링을 사용하여 단일 복사 측정에서 웨일 계수를 추정한다.
• 반복적 부분공간 검색 및 측정 프로토콜을 통해 해결되는 무거운 부분공간 찾기로의 감소를 적용한다.
• 상태의 웨일 전개 크기와 무관하게 O(n)개의 두 복사 측정만으로도 스테이블라이저 차원을 추정하는 성질 테스팅 알고리즘을 개발한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 O(log n)개의 비클리포드 게이트로 준비된 상태에 대해, 스테이블라이저 상태를 초월하여 양자 상태 톰그래피를 효율적으로 수행할 수 있는가?
• RQ2 이러한 상태를 학습하는 데 있어, 얽힌 측정과 단일 복사 측정 프로토콜 사이에 지수적 분리가 존재하는가?
• RQ3 큰 스테이블라이저 차원을 가진 상태를 단일 복사 측정만으로 효율적으로 학습할 수 있는가?
• RQ4 단일 복사 측정 방법에서 t에 대한 지수적 의존성은 필수적인가, 아니면 피할 수 있는가?
• RQ5 학습된 고전적 기술적 기술을 비클리포드 게이트 수가 적은 회로로 컴파일할 수 있는가?

주요 결과

• 첫 번째 알고리즘은 엽킨 두 복사 측정을 사용하여, 최대 t개의 비클리포드 게이트를 가진 n 큐비트 상태를 poly(n, 2^t, 1/ε)의 시간과 샘플로 학습한다.
• 두 번째 알고리즘은 단일 복사 측정만을 사용하여 동일한 목표를 달성하지만, 런타임과 샘플 복잡도에서 다항 오버헤드를 감수한다.
• 이 알고리즘들은 스테이블라이저 차원 k를 가진 임의의 상태로 일반화되며, poly(n, 2^t, 1/ε)의 시간과 샘플로 이러한 상태를 학습한다.
• 스테이블라이저 차원을 테스트하는 성질 테스팅 알고리즘을 개발하였으며, 오직 O(n)개의 두 복사 측정만 필요하고 웨일 전개 크기와 무관하다.
• 결과적으로 O(log n)개의 비클리포드 게이트를 가진 상태는 비클리포드 게이트 수가 큐비트 수보다 느리게 증가하더라도 효율적으로 학습 가능하며, 표준 톰그래피를 뛰어넘는 성능을 보인다.
• 기존의 관련 학습 작업에서 알려진 분리에 기반하여, 단일 복사 측정 프로토콜에서 t에 대한 지수적 의존성이 필수적일 수 있음을 제시하는 증거를 제공한다.