[논문 리뷰] Efficient list decoding of punctured Reed-Muller codes.

Venkatesan Guruswami, Lingfei Jin외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 03.

Coding theory and cryptography인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{F}_q$ 위에서 Reed-Muller 코드의 명시적이고 길이 효율적인 패러미터화를 제안하며, 이는 근사적으로 최적의 거리와 효율적인 리스트 디코딩 가능성을 유지한다. 대수적 함수 필드의 함수로 변수를 대체하여 극의 차수를 제어함으로써, 상대적 거리가 $1-\epsilon$ 이상인 코드를 얻을 수 있으며, $1-\sqrt{\epsilon}$ 이하의 오차 비율까지 리스트 디코딩이 가능하고, $q \gtrsim d^2/\epsilon^2$ 조건에서 $\Omega_d(\epsilon)$의 전송률을 달성한다. 이는 무작위 패러미터화 성능에 거의 근접하면서도 필드 크기 효율성이 향상된 것이다.

ABSTRACT

The Reed-Muller (RM) code encoding $n$-variate degree-$d$ polynomials over $\mathbb{F}_q$ for $d < q$ has relative distance $1-d/q$ and can be list decoded from a $1-O(\sqrt{d/q})$ fraction of errors. In this work, for $d \ll q$, we give a length-efficient puncturing of such codes which (almost) retains the distance and list decodability properties of the Reed-Muller code, but has much better rate. Specificially, when $q \gtrsim d^2/\epsilon^2$, we given an explicit rate $\Omega_d(\epsilon)$ puncturing of Reed-Muller codes which have relative distance at least $(1-\epsilon)$ and efficient list decoding up to $(1-\sqrt{\epsilon})$ error fraction. This almost matches the performance of random puncturings which work with the weaker field size requirement $q \gtrsim d/\epsilon^2$. We can also improve the field size requirement to the optimal (up to constant factors) $q \gtrsim d/\epsilon$, at the expense of a worse list decoding radius of $1-\epsilon^{1/3}$ and rate $\Omega_d(\epsilon^2)$. The first of the above trade-offs is obtained by substituting for the variables functions with carefully chosen pole orders from an algebraic function field; this leads to a puncturing for which the RM code is a subcode of a certain algebraic-geometric code (which is known to be efficiently list decodable). The second trade-off is obtained by concatenating this construction with a Reed-Solomon based multiplication friendly pair, and using the list recovery property of algebraic-geometric codes.

연구 동기 및 목표

• Reed-Muller 코드의 길이 효율적인 패러미터화를 설계하여 강력한 리스트 디코딩 가능성과 거리 성질을 유지한다.
• 상수 상대적 거리 $1-\epsilon$와 $1-\sqrt{\epsilon}$ 이하의 오차 비율까지 리스트 디코딩이 가능한 조건에서 필드 크기 $q$ 를 줄이는 것.
• 무작위 패러미터화 성능에 거의 근접하면서도 명시적 구조를 갖춘 필드 크기, 전송률, 리스트 디코딩 반경 간의 상호 교환 관계를 달성한다.
• 대수기하학과 곱셈에 유리한 쌍을 활용하여 효율적인 리스트 디코딩과 높은 전송률을 갖춘 코드를 구축한다.

제안 방법

• Reed-Muller 코드의 변수들을 대수적 함수 필드의 유리 함수로 대체하여, 극의 차수를 철저히 제어함으로써 패러미터화된 코드가 대수적 기하 코드의 부분코드로 남도록 보장한다.
• 대수적 기하 코드의 알려진 효율적 리스트 디코딩 가능성을 활용하여, 패러미터화된 Reed-Muller 코드의 리스트 디코딩 성질을 유도한다.
• 조건 $d \ll q$ 하에서 $q \gtrsim d^2/\epsilon^2$ 이면, 전송률이 $\Omega_d(\epsilon)$이고 상대적 거리가 $1-\epsilon$ 이상임을 확보한다.
• 필드 크기 효율성을 향상시키기 위해, 구성에 Reed-Solomon 기반 곱셈에 유리한 쌍을 연결함으로써 $q \gtrsim d/\epsilon$ 수준으로 필드 크기를 줄일 수 있으며, 이는 리스트 디코딩 반경이 $1-\epsilon^{1/3}$ 으로 약화되는 것을 감수한다.
• 두 번째 구성에서 대수적 기하 코드의 리스트 복구 성질을 활용하여 효율적인 리스트 디코딩을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Can we construct an explicit puncturing of Reed-Muller codes that maintains near-optimal distance and efficient list decodability with significantly reduced field size?
• RQ2 How can algebraic function fields be used to design puncturings that preserve the structure of Reed-Muller codes while improving rate and error tolerance?
• RQ3 What trade-offs exist between field size, rate, and list decoding radius in explicit punctured Reed-Muller codes?
• RQ4 To what extent can explicit constructions match the performance of random puncturings in terms of distance and list decodability?

주요 결과

• For $q \gtrsim d^2/\epsilon^2$, the construction yields a punctured Reed-Muller code with relative distance at least $1-\epsilon$ and efficient list decoding up to $1-\sqrt{\epsilon}$ fraction of errors, with rate $\Omega_d(\epsilon)$.
• The construction achieves a rate that is polynomial in $\epsilon$ for $d \ll q$, significantly improving upon previous explicit puncturings.
• The field size requirement $q \gtrsim d^2/\epsilon^2$ is nearly optimal and close to that of random puncturings, which require $q \gtrsim d/\epsilon^2$.
• By concatenating with a multiplication-friendly pair, the field size is reduced to $q \gtrsim d/\epsilon$, achieving optimal field size up to constant factors, albeit with a weaker list decoding radius of $1-\epsilon^{1/3}$.
• The resulting codes are subcodes of algebraic-geometric codes, enabling efficient list decoding via known algorithms.