[논문 리뷰] Efficient MPS methods for extracting spectral information on rings and cylinders

Maarten Van Damme, Robijn Vanhove외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 22.

Quantum many-body systems참고 문헌 47인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 개방 경계 조건을 가진 MPS의 탄성 공간을 변분 안자로 활용하여 고리와 실린더에서 스펙트럼 정보를 효율적으로 추출하는 행렬 제품 상태(MPS) 방법을 제안한다. MPS 표현에서의 이동 대칭성의 명시적 위반에도 불구하고, 이 방법은 운동량을 양호한 양자수로 회복하여 1차원 양자 스핀 체인과 2차원 무한 실린더에서의 자극 스펙트럼—비특이한 유한체적 CFT 스펙트럼과 구멍 분산을 포함—을 정확하게 계산할 수 있다. 이는 이징 및 허버드 모델에 적용 가능하다.

ABSTRACT

Based on the MPS formalism, we introduce an ansatz for capturing excited states in finite systems with open boundary conditions, providing a very efficient method for computing, e.g., the spectral gap of quantum spin chains. This method can be straightforwardly implemented on top of an existing DMRG or MPS ground-state code. Although this approach is built on open-boundary MPS, we also apply it to systems with periodic boundary conditions. Despite the explicit breaking of translation symmetry by the MPS representation, we show that momentum emerges as a good quantum number, and can be exploited for labeling excitations on top of MPS ground states. We apply our method to the critical Ising chain on a ring and the classical Potts model on a cylinder. Finally, we apply the same idea to compute excitation spectra for 2-D quantum systems on infinite cylinders. Again, despite the explicit breaking of translation symmetry in the periodic direction, we recover momentum as a good quantum number for labeling excitations. We apply this method to the 2-D transverse-field Ising model and the half-filled Hubbard model; for the latter, we obtain accurate results for, e.g., the hole dispersion for cylinder circumferences up to eight sites.

연구 동기 및 목표

• 개방 경계 조건을 가진 유한 1차원 시스템에서 스펙트럼 갭과 자극 스펙트럼을 계산하는 데 있어 계산적으로 효율적인 방법을 개발한다.
• MPS의 표현에서 이동 대칭성이 명시적으로 위반되는 경우에도, 이와 같은 조건을 가진 시스템(고리와 실린더)으로 방법을 확장한다.
• MPS 표현에서 이동 대칭성이 위반되더라도 운동량이 자극 상태를 레이블링하는 데 있어 양호한 양자수로 유지됨을 보여준다.
• 비특이 모델(예: 이징 및 푸츠 체인)과 2차원 양자 시스템(예: 횡방향 자기장 이징 모델 및 반-filled 허버드 모델)에 대해 무한 실린더에서의 적용을 수행한다.
• 지배적인 입자 분산, 예를 들어 도핑된 허버드 모델에서의 구멍 분산을, 기저 상태 시뮬레이션과 유사한 계산 비용으로 정확하게 계산할 수 있도록 한다.

제안 방법

• 개방 경계 조건을 가진 MPS의 탄성 공간을 자극 상태의 변분 안자로 활용하여 스펙트럼 갭을 효율적으로 계산한다.
• 동일한 안자를 주기적 시스템(고리와 실린더)에 적용하여, MPS를 주기적 경계 조건을 가진 유한 시스템으로 간주한다.
• MPS 파동함수에 푸리에 변환을 통해 운동량 프로젝션을 적용하여, 이동 대칭성이 위반된 상황에서도 자극 상태를 양호한 양자수로 레이블링한다.
• 기존의 DMRG 및 MPS 기저 상태 코드와 호환되는 프레임워크에 구현하여 간편한 통합을 가능하게 한다.
• MPS 기저 상태의 수렴 기준으로 스케일링 값 임계값을 사용하며, iDMRG의 절단 임계값과 유사하다.
• 2차원 시스템에 대해 무한 실린더에서의 응용을 위해, 주기적 방향을 운동량 공간 레이블로 간주함으로써, MPS 텐서 네트워크 내에서의 명시적 대칭성 위반에도 불구하고 방법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 개방 경계 조건을 가진 MPS의 탄성 공간을 사용하여, 개방 경계를 가진 유한 시스템에서 자극 상태를 효율적으로 변분 안자로 사용할 수 있는가?
• RQ2 MPS가 이동 대칭성을 명시적으로 위반할 경우, 주기적 시스템(고리와 실린더)에서 운동량을 어느 정도 회복할 수 있는가?
• RQ3 이 방법은 고리에서의 비특이 모델(예: 이징 및 푸츠 체인)의 유한체적 스펙트럼을 정확하게 재현할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 2차원 양자 시스템에 대해 무한 실린더에서 확장 가능하며, 허버드 모델과 같은 강한 상관관계를 가진 모델의 정확한 자극 스펙트럼을 제공하는가?
• RQ5 이 방법은 도핑된 허버드 체계에서의 복합 입자인 자성 폴라론을 포괄적으로 포착하는 데 얼마나 잘 작동하는가?

주요 결과

• 이 방법은 스핀-1 허버드 체인의 스펙트럼 갭을 매우 정확하게 계산하여, 기존의 DMRG 기반 자극 상태 타겟팅 방법과 일치하는 결과를 도출한다.
• 고리에서의 비특이 이징 체인의 경우, 이 방법은 고전적 장이론(CFT)의 유한체적 스펙트럼을 높은 정밀도로 복원하여 운동량 레이블링의 타당성을 확인한다.
• 8사이트 실린더에서 반-filled 허버드 모델의 구멍 분산은 정확하게 계산되었으며, 최소값은 S 점(π/2, π/2)에서 관찰되어 이전의 수치 연구 결과와 일치한다.
• 전하 갭은 결합 차원 증가에 따라 느리게 수렴하며, 이는 구멍 자극의 복합성과 관련된 것으로 보이며, 8사이트 실린더에서 D ≈ 7000일지라도 완전히 수렴하지 못한다.
• MPS 구조에서의 이동 대칭성 위반에도 불구하고, 실린더에서 자극 상태를 레이블링하는 데 있어 운동량이 신뢰할 수 있는 양자수로 회복된다.
• 이 자극 안자는 계산 비용이 기저 상태 시뮬레이션과 유사하여, 도파민성 및 분수화된 자극 상태를 연구하는 데 가능성을 열어준다.