[논문 리뷰] Efficient optimization-based quadrature for variational discretization of nonlocal problems

Marco Pasetto, Zhaoxiang Shen외 4명|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 28.

Numerical methods in engineering참고 문헌 60인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비국소 문제의 유한요소 해석에 대해 최적화 기반의 적분 기법을 제안하며, 요소-구역 교차 계산을 피하기 위해 일반화된 이동 최소 제곱법을 사용해 전체 구역 상에서 적분 가중치를 계산한다. 이 방법은 균일 격자에서 최소 제1차 L2 수렴과 최적 제2차 수렴을 달성하며, 비균일 격자에서도 안정적인 성능을 보이며, h ∼ δ → 0일 때 점근적 호환성을 확보한다.

ABSTRACT

Casting nonlocal problems in variational form and discretizing them with the finite element (FE) method facilitates the use of nonlocal vector calculus to prove well-posedeness, convergence, and stability of such schemes. Employing an FE method also facilitates meshing of complicated domain geometries and coupling with FE methods for local problems. However, nonlocal weak problems involve the computation of a double-integral, which is computationally expensive and presents several challenges. In particular, the inner integral of the variational form associated with the stiffness matrix is defined over the intersections of FE mesh elements with a ball of radius $\delta$, where $\delta$ is the range of nonlocal interaction. Identifying and parameterizing these intersections is a nontrivial computational geometry problem. In this work, we propose a quadrature technique where the inner integration is performed using quadrature points distributed over the full ball, without regard for how it intersects elements, and weights are computed based on the generalized moving least squares method. Thus, as opposed to all previously employed methods, our technique does not require element-by-element integration and fully circumvents the computation of element-ball intersections. This paper considers one- and two-dimensional implementations of piecewise linear continuous FE approximations, focusing on the case where the element size h and the nonlocal radius $\delta$ are proportional, as is typical of practical computations. When boundary conditions are treated carefully and the outer integral of the variational form is computed accurately, the proposed method is asymptotically compatible in the limit of $h \sim \delta o 0$, featuring at least first-order convergence in L^2 for all dimensions, using both uniform and nonuniform grids.

연구 동기 및 목표

• 비국소 유한요소 방법에서 요소-구역 교차 검출의 계산적 병목 현상을 해결하기 위해.
• 요소별 통합을 피할 수 있는 효율적이고 정확한 비국소 강성 행렬 조립을 위한 적분 체계 개발을 위해.
• 균일 및 비균일 격자에서 점근적 호환성과 최적 수렴 속도를 보장하기 위해.
• 요소-구역 겹침의 기하학적 재구성 방식을 피해 구현 복잡도를 최소화하기 위해.
• 수치 실험과 수렴 분석을 통해 방법의 안정성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 내부 통합 시 요소 경계를 忽시하고, 전체 수평 구역 H(x, δ)에 분포된 적분 점을 사용한다.
• 일致성과 정확성을 보장하기 위해 일반화된 이동 최소 제곱법(GMLS)을 사용해 적분 가중치를 계산한다.
• GMLS 프레임워크는 주어진 차수까지 다항식 일치를 재현할 수 있도록 최소 제곱 최적화 문제를 해결한다.
• 이 방법은 기하학적으로 복잡하고 시간이 오래 소요되는 요소-구역 교차 계산을 명시적으로 피한다.
• 표준 유한요소 프레임워크 내에 통합되어 있어, 코드 수정 최소화 가능하다.
• 경계 조건은 점근적 호환성과 수렴성을 유지하도록 신중히 처리된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 요소-구역 교차 계산을 피하면서도 비국소 유한요소 방법에서 정확성과 수렴성을 유지할 수 있는 적분 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ2 이 방법을 사용할 경우 균일 및 비균일 격자에서 L2 및 H1 노름에서 달성 가능한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 h ∼ δ → 0일 때 방법이 점근적 호환성을 유지하는가?
• RQ4 이 방법은 패치 테스트에 통과하고 균일 격자에서 최적 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ5 비균일 격자에서의 사전 점근적 영역에서 이 방법의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 모든 차원과 균일 및 비균일 격자에서 최소 제1차 L2 수렴을 달성한다.
• 균일 격자에서는 L2 수렴에서 최적 제2차 수렴을 보이며, 패치 테스트에 통과한다.
• 비균일 격자에서는 상당한 사전 점근적 영역에서 효과적인 제2차 수렴을 관찰했으며, 패치 테스트에서의 미세한 편차에서만 점근적 제1차 수렴이 명확히 드러난다.
• H1 수렴 속도는 항상 L2 수렴 속도보다 한 단계 낮다.
• 모든 적분 점에 대해 적분 가중치가 엄밀히 양수이며, 이는 안정성과 강건성을 보장한다.
• h ∼ δ → 0의 극한에서 방법은 점근적 호환성을 확보하며, 구현 오버헤드가 최소한이다.