[논문 리뷰] Efficient quantum algorithm for solving travelling salesman problem: An IBM quantum experience

Karthik Srinivasan, Saipriya Satyajit외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 39

한 줄 요약

이 논문은 단서 추정과 양자 검색을 사용하여 NP-난이도의 순회 판매원 문제(TSP)를 위한 양자 알고리즘을 제안한다. 도시 간 거리를 양자 위상으로 인코딩하여 유니터리 연산을 가능하게 한다. 모든 가능한 경로에 해당하는 위상을 추정하고 앰플리튜드 강화를 통해 최소 비용 해밀턴 순환을 찾음으로써 고전적 브루트포스 방법 대비 제곱근 속도 향상을 달성한다. 4개 도시 사례에 대해 IBM Quantum Experience에서 시뮬레이션을 통해 검증하였다.

ABSTRACT

The famous Travelling Salesman Problem (TSP) is an important category of optimization problems that is mostly encountered in various areas of science and engineering. Studying optimization problems motivates to develop advanced techniques more suited to contemporary practical problems. Among those, especially the NP hard problems provide an apt platform to demonstrate supremacy of quantum over classical technologies in terms of resources and time. TSP is one such NP hard problem in combinatorial optimization which takes exponential time order for solving by brute force method. Here we propose a quantum algorithm to solve the travelling salesman problem using phase estimation technique. We approach the problem by encoding the given distances between the cities as phases. We construct unitary operators whose eigenvectors are the computational basis states and eigenvalues are various combinations of these phases. Then we apply phase estimation algorithm to certain eigenstates which give us all the total distances possible for all the routes. After obtaining the distances we can search through this information using the quantum search algorithm for finding the minimum to find the least possible distance as well the route taken. This provides us a quadratic speedup over the classical brute force method for a large number of cities. In this paper, we illustrate an example of the travelling salesman problem by taking four cities and present the results by simulating the codes in the IBM's quantum simulator.

연구 동기 및 목표

• 양자 단서 추정과 앰플리튜드 강화를 사용하여 NP-난이도의 순회 판매원 문제(TSP)를 효율적으로 해결하는 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 도시 간 거리를 양자 위상으로 인코딩하여 양자 컴퓨터에서 유니터리 진동과 단서 추정을 가능하게 하는 것.
• 최적의 TSP 경로를 찾는 데 있어 고전적 브루트포스 방법 대비 제곱근 속도 향상을 달성하는 것.
• 4개 도시 사례를 사용하여 IBM Quantum Experience에서의 시뮬레이션을 통해 알고리즘의 구현 가능성을 입증하는 것.

제안 방법

• 각 거리 $\phi_{ij}$ 를 위상 $e^{i\phi_{ij}}$ 로 매핑하여 거리 행렬을 유니터리 행렬로 인코딩함으로써 유니터리 연산자 $B$ 를 구성한다.
• 특정 경로에 해당하는 단계 이동을 적용하는 제어 유니터리 연산 $C-U$ 를 구성하며, 고유상태는 경로 순서를 인코딩한다.
• 양자 단서 추정(QPE) 알고리즘을 사용하여 주어진 경로에 해당하는 고유상태의 단서를 추정한다. 여기서 단서는 총 경로 비용을 인코딩한다.
• 역 양자 푸리에 변환(QFT)을 적용하여 단서 정보를 추출하며, 이는 경로의 총 거리에 해당한다.
• Dürr와 Hoyer의 양자 검색 알고리즘을 사용하여 $ (N-1)! $ 개의 가능한 경로 중에서 최소 단서(즉, 최소 총 거리)를 찾는다.
• 4개 도시 TSP 사례에 대해 맞춤형 토폴로지와 QASM 코드를 사용하여 IBM Quantum Experience에서 전체 회로를 시뮬레이션한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단서 추정과 앰플리튜드 강화를 기반으로 한 양자 알고리즘이 고전적 브루트포스 검색 대비 제곱근 속도 향상을 통해 TSP를 해결할 수 있는가?
• RQ2 비유니터리 거리 행렬은 어떻게 양자 위상으로 인코딩되어 유니터리 진동을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ3 고유상태는 TSP를 위한 양자 회로에서 해밀턴 순환을 어떻게 표현하는가?
• RQ4 더 큰 TSP 사례에 대해 알고리즘의 회로 깊이와 큐비트 요구량은 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 이 알고리즘은 IBM Quantum 프로세서와 같은 근접한 양자 하드웨어에서 구현되고 검증될 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 $ N $ 개의 도시에 대해 $ O(\sqrt{(N-1)!}) $ 의 스케일링을 보이며, 고전적 브루트포스 검색 대비 제곱근 속도 향상을 달성한다.
• 4개 도시 TSP 사례에 대해 14개 큐비트와 맞춤형 유니터리 서브루틴을 사용하여 IBM Quantum Experience에서 양자 회로가 성공적으로 시뮬레이션되었다.
• 단서 추정 과정은 총 경로 비용을 위상으로 정확히 인코딩하였으며, 이는 역 QFT를 통해 추출되고 측정되었다.
• 거리 값을 위상으로 표현함으로써 유니터리 연산이 가능해졌으며, 이는 고전적 거리 행렬의 비유니터리성 문제를 해결하였다.
• 대칭성이나 차수 제한과 같은 제약 조건 없이도 알고리즘이 유효하게 유지된다.
• 시뮬레이션을 통해 제어 유니터리 연산과 QPE를 포함한 전체 회로가 표준 양자 게이트와 IBM의 맞춤형 토폴로지로 구현 가능함을 입증하였다.