[논문 리뷰] Efficient Quantum Algorithms for Simulating Lindblad Evolution

Richard Cleve, Chunhao Wang|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 30.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 31인용 수 35

한 줄 요약

이 논문은 양자 채널을 위한 특화된 선형 단위변환(LCU) 방법의 새로운 변형을 사용하여 개방 양자 시스템에서 린드블라드 진동을 효율적으로 시뮬레이션하는 양자 알고리즘을 제시한다. 린드블리안이 $ \mathrm{poly}(n) $ 개의 파울리 연산자의 선형 조합으로 구성되어 있을 경우, 이 알고리즘은 $ O(t\,\mathrm{polylog}(t/\epsilon)\,\mathrm{poly}(n)) $ 의 게이트 비용을 달성하며, 시스템을 확장한 후 하미르토니안 시뮬레이션으로 환원하는 기존 방법에 비해 $ O(t^2/\epsilon) $ 의 비용 과부하를 피한다.

ABSTRACT

We consider the natural generalization of the Schrödinger equation to Markovian open system dynamics: the so-called the Lindblad equation. We give a quantum algorithm for simulating the evolution of an $n$-qubit system for time $t$ within precision $ε$. If the Lindbladian consists of $\mathrm{poly}(n)$ operators that can each be expressed as a linear combination of $\mathrm{poly}(n)$ tensor products of Pauli operators then the gate cost of our algorithm is $O(t\, \mathrm{polylog}(t/ε)\mathrm{poly}(n))$. We also obtain similar bounds for the cases where the Lindbladian consists of local operators, and where the Lindbladian consists of sparse operators. This is remarkable in light of evidence that we provide indicating that the above efficiency is impossible to attain by first expressing Lindblad evolution as Schrödinger evolution on a larger system and tracing out the ancillary system: the cost of such a extit{reduction} incurs an efficiency overhead of $O(t^2/ε)$ even before the Hamiltonian evolution simulation begins. Instead, the approach of our algorithm is to use a novel variation of the "linear combinations of unitaries" construction that pertains to channels.

연구 동기 및 목표

• 린드블라드 마스터 방정식에 의해 지배되는 마코프형 개방 시스템 동역학을 효율적으로 시뮬레이션하는 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 확장된 시스템에서 하미르토니안 진동으로의 환원으로 인해 발생하는 $ O(t^2/\epsilon) $ 의 비용 과부하를 피하기 위한 방법을 모색하는 것.
• 린드블리안이 $ \mathrm{poly}(n) $ 개의 파울리 연산자로 구성되어 있을 경우, 게이트 복잡도가 $ O(t\,\mathrm{polylog}(t/\epsilon)\,\mathrm{poly}(n)) $ 로 스케일링되는 시뮬레이션을 달성하는 것.
• 지역적 또는 희박한 린드블리안 연산자에 대해서도 효율성을 유지하며 정밀도에 대해 다항로그 형태의 의존성을 유지하는 것.

제안 방법

• 단지 단위변환뿐만 아니라 양자 채널을 위한 특화된 선형 단위변환(LCU) 프레임워크의 새로운 변형을 도입하는 것.
• 린드블리안 진동을 린드블리안 연산자와 하미르토니안에서 유도된 단위변환들의 제어된 합으로 실현하기 위해 다중 다수의 유니터리 구조를 사용하는 것.
• 린드블리안 생성자를 순수화 및 지시 큐비트 레지스터를 사용해 표현함으로써 LCU 구성 요소의 제어 적용을 가능하게 하는 것.
• 각 린드블리안 연산자와 하미르토니안을 제어 오차를 갖는 단위변환의 선형 조합으로 표현하기 위해 잘라내기 및 근사화 기법을 사용하는 것.
• 다이아몬드 노름 거리가 시뮬레이션된 진동과 진짜 진동 사이에 $ \epsilon $ 이내에 있도록 보장하기 위해 농도 경계와 오차 분석을 적용하는 것.
• 전체 진동 시간을 $ O(\tau) $ 개의 세그먼트로 나누고, $ \tau = t\|\mathcal{L}\|_{\text{pauli}} $ 이며, 각 세그먼트에서 정밀도를 감소시켜 순환적으로 회로를 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 린드블라드 진동은 하미르토니안 시뮬레이션 환원에 따른 $ O(t^2/\epsilon) $ 과부하를 피하면서도 $ O(t\,\mathrm{polylog}(t/\epsilon)) $ 의 게이트 비용 스케일링으로 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ2 암시적 큐비트 기반 하미르토니안 임bedding을 거치지 않고도 직접 채널 기반 LCU 구조를 사용해 린드블라드 진동을 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ3 린드블리안이 지역적 또는 희박한 연산자로 구성되어 있을 경우, 린드블라드 진동의 게이트 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ4 린드블리안의 LCU 근사에서 발생하는 오차는 전체 시뮬레이션의 정밀도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 린드블리안이 $ \mathrm{poly}(n) $ 개의 파울리 항목을 가지며 $ \mathrm{poly}(n) $-희박한 구조를 띠고 있을 경우, 알고리즘이 효율성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 린드블리안이 $ \mathrm{poly}(n) $ 개의 연산자로 구성되어 있고, 각 연산자가 $ \mathrm{poly}(n) $ 개의 파울리 항목의 선형 조합일 경우, 알고리즘은 $ O(t\,\mathrm{polylog}(t/\epsilon)\,\mathrm{poly}(n)) $ 의 게이트 비용을 달성한다.
• 하미르토니안과 린드블리안 연산자가 각각 $ d $-희박한 경우, 게이트 복잡도는 $ O(\tau\,\mathrm{polylog}(mq\tau/\epsilon)\,\mathrm{poly}(n,d)) $ 로, $ \tau = t\|\mathcal{L}\|_{\text{ops}} $ 이다.
• 쿼리 복잡도는 $ O\left(\tau\,\frac{\log(\tau/\epsilon)}{\log\log(\tau/\epsilon)}\,\mathrm{poly}(d)\right) $ 로 스케일링되며, 효율적인 오라클 사용을 반영한다.
• 논문의 부록 A에서 증명된 바와 같이, 이 방법은 확장된 시스템에서 하미르토니안 진동으로의 환원에 따라 발생하는 $ O(t^2/\epsilon) $ 의 비용 과부하를 피한다.
• 적절한 잘라내기 및 근사화 파rameter를 선택함으로써 다이아몬드 노름 거리가 $ \epsilon $ 이내로 제한되며, 농도 경계를 통해 정밀도가 보장된다.
• 린드블리안이 지역적 연산자로 구성되어 있을 경우에도 알고리즘은 효율성을 유지하며, 복잡도가 $ O(t\,\mathrm{polylog}(t/\epsilon)\,\mathrm{poly}(n)) $ 로 스케일링된다.