[논문 리뷰] Efficient quantum algorithms for stabilizer entropies

Tobias Haug, Soovin Lee외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 30.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 17

한 줄 요약

본 논문은 Bell 측정을 이용해 정수 n>1에 대해 안정자 엔트로피(SE)를 측정하는 효율적인 양자 알고리즘을 제시하고, 비안정성 모노토놈에 대한 한계를 도출하며, Pauli-평균 4n점 OTOC와 다중프랙털 평탄도를 시연하고 IonQ에서의 실험 결과를 제시한다.

ABSTRACT

Stabilizer entropies (SEs) are measures of nonstabilizerness or `magic' that quantify the degree to which a state is described by stabilizers. SEs are especially interesting due to their connections to scrambling, localization and property testing. However, applications have been limited so far as previously known measurement protocols for SEs scale exponentially with the number of qubits. Here, we efficiently measure SEs for integer Rényi index $n>1$ via Bell measurements. The SE of $N$-qubit quantum states can be measured with $O(n)$ copies and $O(nN)$ classical computational time, where for even $n$ we additionally require the complex conjugate of the state. We provide efficient bounds of various nonstabilizerness monotones which are intractable to compute beyond a few qubits. Using the IonQ quantum computer, we measure SEs of random Clifford circuits doped with non-Clifford gates and give bounds for the stabilizer fidelity, stabilizer extent and robustness of magic. We provide efficient algorithms to measure Clifford-averaged $4n$-point out-of-time-order correlators and multifractal flatness. With these measures we study the scrambling time of doped Clifford circuits and random Hamiltonian evolution depending on nonstabilizerness. Counter-intuitively, random Hamiltonian evolution becomes less scrambled at long times which we reveal with the multifractal flatness. Our results open up the exploration of nonstabilizerness with quantum computers.

연구 동기 및 목표

• 양자 상태에서 비안정성(매직)을 측정하는 필요성과 스크램블링, 국재화(localization), 특성 검사와의 연관성을 동기부여한다.
• 지수 자원 없이 n>1에 대해 안정자 엔트로피를 평가하는 확장 가능한 프로토콜을 개발한다.
• SE와 다른 자원 척도 간의 관계를 밝히고 비안정성 모노토놈에 대한 한계를 제시한다.
• SE를 실용적으로 양자 하드웨어에서 구현하고 SE와 OTOC 및 다중프랙털 평탄도와의 연결을 보인다.

제안 방법

• A_n(ψ)=2^{-N}∑_{σ∈P}⟨ψ|σ|ψ⟩^{2n}를 2n-복사 기대값 ⟨ψ^{⊗2n}|Γ_n^{⊗N}|ψ^{⊗2n}⟩로 표현하고, Γ_n=(1/2)∑_{k=0}^{3}(σ^k)^{⊗2n}로 만들기.
• Bell 변환 U_Bell를 이용해 Γ_n를 대각화하여 |ψ⟩의 두 복사에 대해 Bell 측정을 가능하게 함(홀수 n>1의 알고리즘 1; 짝수 n의 경우 일반적으로 복소수 케이스 필요).
• | ψ⟩ 및 | ψ^* angle를 Bell-기저 표집과 2n−2개의 Pauli 측정을 통해 A_n을 측정하는 알고리즘 2를 제공하여 임의의 정수 n>1에 대해 n>1 가능(복소수 케이스 또는 U^*에 접근 필요).
• A_n을 Pauli-평균 4n점 OTOC와 관련시키고 OTOC_{4n}(U)=A_n(|U⟩) 및 Choi 상태 형식을 이용해 SE와 OTOC 간의 연결을 제시한다.
• A_n으로부터 매직 강건성 R, 안정자 확장 ξ, 안정자 충실도 F_STAB의 계산가능한 해를 유도한다(및 관련 변수들).
• Tsallis 안정자 엔트로피 T_n을 도입하고 Rényi SEs M_n과의 관계를 M_n=(1−n)^{-1} ln(1+(1−n)T_n)로 제시한다.
• Pauli-평균 OTOC 및 SE의 다중프랙털 평탄도 F̄를 측정하는 방법을 검증하고, 노이즈가 있는 디바이스에 대한 오류완화 전략을 논의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 n>1에 대한 SE를 Bell 측정으로 양자 디바이스에서 효율적으로 측정할 수 있는가?
• RQ2 홀수 n>1에 대해 A_n을 효율적으로 추정할 수 있는가, 그리고 모든 n>1에 대해 복소수 접근으로 가능한가?
• RQ3 SE로부터 비안정성 모노토놈(R, ξ, F_STAB)에 대한 어떤 한계를 도출할 수 있는가?
• RQ4 4n-점 Pauli-평균 OTOC가 Choi 상태를 통해 SE와 어떻게 연결되며, 홀수 n에 대해 시계역전 없이도 효율적으로 측정할 수 있는가?
• RQ5 다중프랙털 평탄도 F̄를 효율적으로 측정하고 SE와의 관계를 통해 기저 상태 참여를 특징 지을 수 있는가?

주요 결과

• 효율적 프로토콜(벨 측정)을 통해 n>1인 경우의 안정자 엔트로피를 측정하며 복사 수는 O(nε^{-2}) 스케일링으로 나타난다.
• 알고리즘 1은 홀수 n>1에 대해 2n 복사를 사용해 A_n의 편향되지 않은 추정치를 제공하지만 두 복사에 Bell 변환을 통해 구현된다.
• 알고리즘 2는 모든 정수 n>1에 대해 Pauli 문자열을 표집하고 |ψ⟩에 대해 2n−2 Pauli 측정을 수행하여 A_n을 측정할 수 있게 하며(복소수 |ψ^*⟩ 접근 필요).
• Pauli-평균 4n점 OTOC는 OTOC_{4n}(U)=A_n(|U⟩)를 만족하여 홀수 n에 대해 역시간 진화를 필요로 하지 않고도 효율적으로 OTOC를 추정할 수 있다.
• 논문은 R≥ξ≥F_STAB^{-1}≥A_n^{−1/(2n)} 등과 같은 경계 및 A_n 관련 식으로부터 F_STAB의 하한/상한을 유도해 소형 시스템을 넘는 추정치를 제공한다.
• IonQ에서의 실험 시연은 Tsallis SEs(T_3)가 비클리포드 성분과 함께 증가함을 보이고 F_STAB와 다른 모노토놈들에 대한 유효한 경계치를 제시하는 오류완화 하에서의 결과를 보여준다.