[논문 리뷰] Efficient quantum tensor product expanders and unitary t-designs via the zigzag product

Pranab Kumar Sen|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 30.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 지그재그 곱을 사용하여 텐서 곱 확장자와 유니터리 $t$-디자인의 효율적인 양자 구조를 제안하며, degree와 스펙트럴 갭 사이의 거의 최적의 트레이드오프를 갖는 거의 라만두잔 양자 $t$-텐서 곱 확장자들을 가능하게 한다. 이는 고전적 지그재그 곱을 양자 환경으로 일반화하여 $t = \mathrm{polylog}(D)$를 달성하고, 이전 방법들보다 향상된 경계를 확보하며, $\lambda \leq d^{-1/2 + O(1/√{\log d})}$를 갖는 구조를 포함한다.

ABSTRACT

A classical t-tensor product expander is a natural way of formalising correlated walks of t particles on a regular expander graph. A quantum t-tensor product expander is a completely positive trace preserving map that is a straightforward analogue of a classical t-tensor product expander. Interest in these maps arises from the fact that iterating a quantum t-tensor product expander gives us a unitary t-design, which has many applications to quantum computation and information. We show that the zigzag product of a high dimensional quantum expander (i.e. t = 1) of moderate degree with a moderate dimensional quantum t-tensor product expander of low degree gives us a high dimensional quantum t-tensor product expander of low degree. Previously such a result was known only for quantum expanders i.e. t = 1. Using the zigzag product we give efficient constructions of quantum t-tensor product expanders in dimension D where t = polylog(D). We then show how replacing the zigzag product by the generalised zigzag product leads to almost-Ramanujan quantum tensor product expanders i.e. having near-optimal almost quadratic tradeoff between the degree and the second largest singular value. Both the products give better tradeoffs between the degree and second largest singular value than what was previously known for efficient constructions.

연구 동기 및 목표

• 고전적 지그재그 곱을 양자 $t$-텐서 곱 확장자(qTPEs)로 확장하여, unitary $t$-디자인의 효율적 구조를 가능하게 하기.
• 양자 확장자에서 degree $d$와 두 번째 특이값 $\lambda$ 사이의 트레이드오프를 개선하여 라만두잔 경계에 가까워지기.
• 지그재그 곱을 '일반화된 지그재그 곱'으로 일반화하여, 거의 라만두잔 qTPEs와 거의 최적의 스펙트럴 갭을 갖는 구조를 가능하게 하기.
• $t = \mathrm{polylog}(D)$인 $t$-qTPEs에 대한 구조적 방법을 제공하여, 이전의 대수적 또는 회로 기반 접근법의 한계를 극복하기.
• 지그재그 곱이 큰 $t$에 대해 효율적이고 명시적인 $t$-디자인의 구조를 제공할 수 있음을 보여주며, 이전의 경계를 초월하는 효율성과 스펙트럴 성능을 확보하기.

제안 방법

• 지그재그 곱을 고차원 $t=1$ 양자 확장자와 저차수의 $t$-qTPE를 구조적 초연산자 조합을 통해 결합함으로써 양자 $t$-텐서 곱 확장자에 적용한다.
• 일반화된 지그재그 곱을 사용하여 스펙트럴 경계를 정밀화하며, $\lambda \leq 8(\lambda_1 + 7\epsilon) + \lambda_2^{k-1} + \lambda_2^k + 47\sqrt[4]{t(t-1)/(dd')}$.
• 스펙트럴 성질을 강화하기 위해 $s$-차수의 $t$-qTPE를 $k$층으로 재귀적으로 조합하며, $k \leq \log s$.
• 시퀀스 $\vec{\mathcal{H}}$가 $\epsilon$-좋음임을 이용하여 각 층에서 스펙트럴 감쇠를 제어한다.
• 연산자 노름 부등식과 변동 분석을 통해 스펙트럴 노름 $\|\mathcal{G} - \mathcal{I}\|_\infty \leq \lambda$ 을 제한한다.
• $d' \geq 30 \log s (\log s + \log d) d^{2k+1} \epsilon^{-2}$이면, $\lambda_2 < 8s^{-1/2}$인 $\vec{\mathcal{H}}$의 존재가 보장되며, 이는 거의 최적의 스펙트럴 갭을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 지그재그 곱을 양자 $t$-텐서 곱 확장자로 일반화하여, $t = \mathrm{polylog}(D)$에 대해 unitary $t$-디자인의 효율적 구조를 달성할 수 있는가?
• RQ2 양자 $t$-TPE 환경에서 지그재그 곱을 사용할 경우, degree $d$와 두 번째 특이값 $\lambda$ 측면에서 어떤 스펙트럴 트레이드오프를 달성할 수 있는가?
• RQ3 일반화된 지그재그 곱이 $\lambda \leq d^{-1/2 + O(1/\sqrt{\log d})}$인 거의 라만두잔 양자 $t$-TPEs를 제공할 수 있는가?
• RQ4 지그재그 곱 구조는 로컬 랜덤 회로나 대수적 카일리 그래프 구조와 같은 이전 방법들에 비해 효율성과 스펙트럴 성능에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 왜 지그재그 곱은 고전적 $t$-텐서 곱 확장자로 일반화되지 못하며, 어떤 구조적 차이가 이를 방지하는가?

주요 결과

• 지그재그 곱 구조는 $\lambda \leq 8(\lambda_1 + 7\epsilon) + \lambda_2^{k-1} + \lambda_2^k + 47\sqrt[4]{t(t-1)/(dd')}$. 를 갖는 $t$-qTPE를 생성한다.
• $d' \geq 30 \log s (\log s + \log d) d^{2k+1} \epsilon^{-2}$ 이면, $\lambda_2 < 8s^{-1/2}$인 시퀀스 $\vec{\mathcal{H}}$가 존재하며, 이는 거의 최적의 스펙트럴 경계를 가능하게 한다.
• 이 방법은 $\lambda \leq d^{-1/2 + O(1/\sqrt{\log d})}$인 거의 라만두잔 $t$-qTPE의 무한한 가족을 생성하며, 이론적 라만두잔 경계에 가까워진다.
• $t=1$일 경우, Ben-Aroya와 Ta-Shma [BT11]의 결과를 회복하지만, 더 좋은 상수를 제공하며, $t = \mathrm{polylog}(D)$로 확장된다.
• 일반화된 지그재그 곱은 로컬 랜덤 회로 구조의 Brandão, Harrow, Horodecki [BHH16]보다 degree와 스펙트럴 갭 사이의 트레이드오프를 더 우수하게 달성한다.
• 이 구조는 $t = \mathrm{polylog}(D)$인 $t$-qTPEs에 대해 첫 번째의 효율적이고 명시적인 방법을 제공하며, 이전의 대수적 또는 회로 기반 접근법에 비해 크게 향상된다.