[논문 리뷰] Efficient quantum tomography

Ryan O’Donnell, John C. Wright|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 08.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 $ d $-차원 혼합 양자 상태 $ \rho $ 를 프로베니우스 노름 오차 $ \epsilon $ 로 추정하기 위해 단지 $ O(d/\epsilon) $ 개의 복사본만을 요구하는 효율적인 양자 상태 톰그래피 프로토콜을 제안한다. 이는 이전의 경계에 비해 크게 향상된 결과이다. 이 방법은 슈어–웨일 분포와 RSK 대응을 활용하여 랭크-$ k $ 근사에 대해 $ O(kd/\epsilon^2) $ 개의 복사본으로 최적의 스펙트럼 추정과 주성분 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In the quantum state tomography problem, one wishes to estimate an unknown $d$-dimensional mixed quantum state $ρ$, given few copies. We show that $O(d/ε)$ copies suffice to obtain an estimate $\hatρ$ that satisfies $\|\hatρ - ρ\|_F^2 \leq ε$ (with high probability). An immediate consequence is that $O(\mathrm{rank}(ρ) \cdot d/ε^2) \leq O(d^2/ε^2)$ copies suffice to obtain an $ε$-accurate estimate in the standard trace distance. This improves on the best known prior result of $O(d^3/ε^2)$ copies for full tomography, and even on the best known prior result of $O(d^2\log(d/ε)/ε^2)$ copies for spectrum estimation. Our result is the first to show that nontrivial tomography can be obtained using a number of copies that is just linear in the dimension. Next, we generalize these results to show that one can perform efficient principal component analysis on $ρ$. Our main result is that $O(k d/ε^2)$ copies suffice to output a rank-$k$ approximation $\hatρ$ whose trace distance error is at most $ε$ more than that of the best rank-$k$ approximator to $ρ$. This subsumes our above trace distance tomography result and generalizes it to the case when $ρ$ is not guaranteed to be of low rank. A key part of the proof is the analogous generalization of our spectrum-learning results: we show that the largest $k$ eigenvalues of $ρ$ can be estimated to trace-distance error $ε$ using $O(k^2/ε^2)$ copies. In turn, this result relies on a new coupling theorem concerning the Robinson-Schensted-Knuth algorithm that should be of independent combinatorial interest.

연구 동기 및 목표

• 고차원 시스템에서 양자 상태 톰그래피에 필요한 복사본 수를 최소화하는 오랜 동안 미해결된 문제를 해결한다.
• 특히 큰 $ d $ 에서도 지수적 스케일링 장벽을 극복하여 $ d $-차원 양자 상태를 추정하는 데에 있어 문제를 해결한다.
• 전체 상태 톰그래피와 낮은 랭크 상태에 대한 주성분 분석(Portable Component Analysis, PCA)에 대해 최적 또는 거의 최적의 복사본 복잡도를 달성한다.
• 고유값 추정 및 상태 재구성에 대한 이론적 보장을 가능하게 하기 위해 로빈슨–센스티드–크니프(Robinson–Schensted–Knuth, RSK) 알고리즘에 대한 새로운 결합 정리(_coupling theorem_)를 개발한다.
• 비트리비얼 톰그래피가 차원 $ d $ 에 대해 선형 의존성만으로 가능함을 입증하여 양자 정보 복잡도 분야에서 주요 격차를 닫는다.

제안 방법

• Schur–Weyl 분포를 기반으로 한 경험적 양자도형(Empirical Young Diagram, EYD) 측정을 사용하여 $ \rho $ 의 $ n $ 개 복사본에서 스펙트럼 정보를 추출한다.
• 최고 무게 벡터 투영을 이용한 키클의 상태 추정 프로토콜을 적용하여 관측된 양자도형으로부터 밀도 행렬을 재구성한다.
• 문자열과 표준 양자도형 쌍 사이의 RSK 대응을 활용하여 관측된 고유값 빈도의 분포를 분석한다.
• 편향된 표본 추출 하에서 표준도형의 형태가 단조적으로 유지됨을 보장하는 RSK에 대한 핵심 결합 정리를 증명한다. 이는 농도 경계를 확보하는 데 기여한다.
• 재구성된 상태 $ \hat{\rho} $ 의 기대 프로베니우스 노름 오차가 $ (4d-3)/n $ 이하로 제한됨을 증명하며, 이는 $ \epsilon $-정확도를 확보하기 위해 $ O(d/\epsilon^2) $ 개의 복사본으로 충분하다는 것을 의미한다.
• 랭크-$ k $ 근사를 위해 프레임워크를 일반화하여, 상위 $ k $ 개 고유값을 추정하고 해당 고유공간에 투영함으로써 $ O(kd/\epsilon^2) $ 개의 복사본으로 효율적인 주성분 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복사본 복잡도가 다항식 또는 그 이상이 아니라 차원 $ d $ 에 대해 선형이 되는 양자 상태 톰그래피가 가능할 수 있는가?
• RQ2 높은 정확도로 낮은 랭크 혼합 상태의 스펙트럼을 추정하기 위해 필요한 최적의 복사본 수는 얼마인가?
• RQ3 복사본 수가 $ d $ 에 대해 제곱 이하의 비율로 감소하는 조건에서, 알려지지 않은 양자 상태에 대해 효율적인 주성분 분석을 수행할 수 있는가?
• RQ4 RSK 대응을 어떻게 활용하여 양자 톰그래피에서 고유값 추정에 대한 새로운 농도 부등식을 유도할 수 있는가?
• RQ5 양자 톰그래피에 필요한 복사본 수에 대한 가장 날카로운 하한 경계는 무엇이며, 상한 경계는 그에 얼마나 가까이 도달할 수 있는가?

주요 결과

• 재구성된 상태 $ \hat{\rho} $ 의 프로베니우스 노름 오차는 $ \mathbb{E}[\|\hat{\rho} - \rho\|_F^2] \leq (4d-3)/n $ 를 만족하므로, 프로베니우스 거리에서 $ \epsilon $-정확도를 확보하기 위해 $ O(d/\epsilon^2) $ 개의 복사본으로 충분하다.
• 랭크-$ r $ 상태의 경우, $ O(rd/\epsilon^2) $ 개의 복사본으로 추적 거리 오차 $ \epsilon $ 이내의 정확도를 확보할 수 있으며, 이는 이전의 $ O(d^3/\epsilon^2) $ 경계보다 향상된 결과이다.
• 상위 $ k $ 개 고유값은 단지 $ O(k^2/\epsilon^2) $ 개의 복사본으로 추정할 수 있으며, 이는 이전의 $ O(k^2 \log(k/\epsilon)/\epsilon^2) $ 방법에 비해 상당한 향상이다.
• 이 방법은 로그 인자들을 제외한 최적의 복사본 복잡도를 달성한다: 프로베니우스 오차 $ \epsilon_0 $ 를 확보하기 위해 $ \widetilde{\Omega}(d) $ 개의 복사본이 필수이며, 본 논문의 $ O(d/\epsilon^2) $ 경계는 이에 $ \log d $ 인자 정도로 근접한다.
• RSK 표준도형에 대한 결합 정리는 $ p > q $ 일 때 $ p $-편향된 문자열이 $ q $-편향된 문자열을 확률적으로 지배함을 보장하며, 이는 농도 및 비교 분석을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 주성분 분석으로 일반화될 수 있다: $ O(kd/\epsilon^2) $ 개의 복사본으로 랭크-$ k $ 근사 $ \hat{\rho} $ 를 출력할 수 있으며, 이는 최적의 랭크-$ k $ 근사자와의 추적 거리 오차가 최대 $ \epsilon $ 이내가 되도록 보장한다.