[논문 리뷰] Efficient tensor network simulation of quantum many-body physics on sparse graphs

Subhayan Sahu, Brian Swingle|arXiv (Cornell University)|2022. 06. 09.

Quantum many-body systems인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 희박하고 국소적으로 나무 구조를 띠는 그래프—예를 들어 랜덤 정규 그래프 또는 확산 그래프—상에서 양자 다체계의 국소 기댓값과 변분 기저 상태를 효율적으로 계산하기 위해 신뢰 전파 기반 방법을 제시한다. 이는 텐서 네트워크 상태를 사용한다. 이 방법은 체적 법칙에 따라 얽힌 상태의 다항수 자원을 사용한 시뮬레이션을 가능하게 하며, 정확한 대각화 한계를 초월한 시스템에서도 횡방향 자기장 이징 모형의 상전이를 정확히 포착할 수 있다.

ABSTRACT

We study tensor network states defined on an underlying graph which is sparsely connected. Generic sparse graphs are expander graphs with a high probability, and one can represent volume law entangled states efficiently with only polynomial resources. We find that message-passing inference algorithms such as belief propagation can lead to efficient computation of local expectation values for a class of tensor network states defined on sparse graphs. As applications, we study local properties of square root states, graph states, and also employ this method to variationally prepare ground states of gapped Hamiltonians defined on generic graphs. Using the variational method we study the phase diagram of the transverse field quantum Ising model defined on sparse expander graphs.

연구 동기 및 목표

• 희박한 그래프에서 정규 격자에 국한되지 않는 효율적인 고전적 시뮬레이션 방법을 개발하기 위해.
• 루프를 가진 그래프에서 표준 수축 방법이 실패하는 상황에서, 루프를 가진 그래프 상의 텐서 네트워크 상태에서 국소 기댓값을 계산하는 데 도전하기 위해.
• 메시지 전파 알고리즘을 사용해 일반적인 희박한 그래프 상의 간극이 있는 해밀토니안에 대해 변분 기저 상태 준비를 가능하게 하기 위해.
• 랜덤 정규 그래프 상에서 횡방향 자기장 양자 이징 모형의 상도를 탐색하기 위해, 신뢰 전파의 효율성을 활용하기 위해.
• 희박한 그래프, 특히 확산 그래프가 낮은 결합 차원으로도 높은 얽힘 상태를 효율적으로 표현할 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 희박한 그래프의 국소적으로 나무 구조를 이용해, 희박한 그래프 상의 텐서 네트워크 수축을 근사하기 위해 신뢰 전파(BP) 알고리즘을 사용한다.
• 그래프 상태 및 고전적 이징 모형의 제곱근 상태와 같은 텐서 네트워크 상태에 대해 BP를 적용해 국소 기댓값을 계산한다.
• BP를 기반으로 한 국소 업데이트를 사용해 간극이 있는 해밀토니안의 근사 기저 상태를 준비하기 위한 변분 알고리즘을 개발한다.
• 에너지 최소화와 정확한 기저 상태 에너지 수렴을 위해 결합 차원 최적화 변분 접근법을 사용한다.
• 정확한 대각화를 통해 작은 그래프(예: 10개 정점)를 기준으로 변분 방법의 정확도를 검증한다.
• 결합 차원 증가에 따라 수렴함을 보여주기 위해, 랜덤 정규 그래프 상의 혼합 자기장 이징 해밀토니안 시스템으로 이 프레임워크를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 희박하고 국소적으로 나무 구조를 띠는 그래프 상에서 정의된 텐서 네트워크 상태의 국소 관측량을 효율적으로 계산하는 데에 신뢰 전파를 사용할 수 있는가?
• RQ2 BP 기반 변분 방법이 희박한 그래프 상의 간극이 있는 해밀토니안의 기저 상태를 얼마나 정확하게 준비할 수 있는가?
• RQ3 횡방향 자기장 양자 이징 모형의 상전이는 랜덤 정규 그래프 상에서 어떻게 나타나며, 낮은 결합 차원의 텐서 네트워크로 포착될 수 있는가?
• RQ4 희박한 그래프의 국소적으로 나무 구조가 효율적인 텐서 네트워크 수축과 얽힘 표현을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 BP 기반의 자unc 및 업데이트 기법을 사용해 이러한 그래프 상에서 실시간 진화를 시뮬레이션하거나 수렴을 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 희박한 그래프 상의 텐서 네트워크 상태에 대해, 국소적으로 나무 구조를 띠기 때문에 루프가 존재하더라도 신뢰 전파가 국소 기댓값을 효율적으로 계산할 수 있다.
• 40개 정점의 랜덤 정규 그래프 상에서 혼합 자기장 이징 모형의 변분 방법이 근사 기저 상태를 성공적으로 준비했으며, 결합 차원 χ가 1에서 3으로 증가함에 따라 에너지가 수렴함을 확인했다.
• 10개 정점 시스템에서 χ=2일 때 변분 기저 상태는 정확한 기저 상태와 오버랩 1을 달성했으며, 이는 수렴을 확인한 것이다.
• 희박한 확산 그래프 상에서 횡방향 자기장 이징 모형의 상전이를 포착했으며, 이는 정규 격자 외의 양자 상을 연구하는 데의 유용성을 보여준다.
• 희박한 그래프는 다항수 자원만으로도 체적 법칙에 따라 얽힌 상태를 효율적으로 표현할 수 있어, 강한 상관 시스템을 시뮬레이션하는 데 적합함을 시사한다.
• 임계점 근처에서 변분 방법의 실패는 희박한 그래프의 평균장 유사 성격 때문이며, 임계 현상에 대해 균일하거나 향상된 변분 안사수를 필요로 함을 시사한다.