[논문 리뷰] Efficient unitary designs and pseudorandom unitaries from permutations

Chi-Fang Chen, Adam Bouland외 4명|arXiv (Cornell University)|2024. 04. 25.

graph theory and CDMA systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $N=2^n$ 에서 $S(N)$ 상의 랜덤 순열을 $U(N)$ 상의 유니터리로 올리는 방식으로, 단지 $ ilde{O}(k olimits \cdot \mathrm{poly}(n))$ 개의 양자 게이트를 사용하여 유니터리 $k$-디자인과 가짜 랜덤 유니터리(PRUs)를 구성하는 효율적인 양자 알고리즘을 제시한다. 핵심 통찰은 대규모 $N$에서의 랜덤 행렬 이론과 다항식 방법 사이의 새로운 연결고리로, 이는 유한한 $N$에 대한 분석을 대규모 $N$ 근사에서의 보간을 통해 가능하게 하여 정보 이론적 $k$-디자인과 계산적 PRUs에 대해 최적의 게이트 복잡도를 달성한다.

ABSTRACT

In this work we give an efficient construction of unitary $k$-designs using $ ilde{O}(k\cdot poly(n))$ quantum gates, as well as an efficient construction of a parallel-secure pseudorandom unitary (PRU). Both results are obtained by giving an efficient quantum algorithm that lifts random permutations over $S(N)$ to random unitaries over $U(N)$ for $N=2^n$. In particular, we show that products of exponentiated sums of $S(N)$ permutations with random phases approximately match the first $2^{Ω(n)}$ moments of the Haar measure. By substituting either $ ilde{O}(k)$-wise independent permutations, or quantum-secure pseudorandom permutations (PRPs) in place of the random permutations, we obtain the above results. The heart of our proof is a conceptual connection between the large dimension (large-$N$) expansion in random matrix theory and the polynomial method, which allows us to prove query lower bounds at finite-$N$ by interpolating from the much simpler large-$N$ limit. The key technical step is to exhibit an orthonormal basis for irreducible representations of the partition algebra that has a low-degree large-$N$ expansion. This allows us to show that the distinguishing probability is a low-degree rational polynomial of the dimension $N$.

연구 동기 및 목표

• n 큐비트에 대한 유니터리 $k$-디자인에 대해 $ olimits \Omega(nk)$ 양자 게이트 하한과 기존 구성 간의 격차를 메우기.
• 단지 $ olimits \tilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))$ 게이트를 사용하여 병렬 보안적 가짜 랜덤 유니터리(PRUs)의 효율적 구성 제공.
• 유한한 $N$에 대한 분석을 위한 대규모-$N$ 랜덤 행렬 이론과 다항식 방법 사이의 개념적 다리를 구축하기.
• 랜덤 순열을 지수 합과 랜덤 위상으로 유니터리로 올리는 방식을 통해 근사 $k$-디자인과 PRUs를 효율적으로 생성하는 양자 알고리즘 구현하기.

제안 방법

• 랜덤 위상을 가진 순열 연산자의 지수 합을 사용하여 $S(N)$ 에서 $U(N)$ 으로 랜덤 순열을 유니터리로 올리기.
• 분할 대수의 대규모 $N$ 전개를 이용해 $N$ 에 대해 저차수 다항식을 가진 정규직교 기저를 식별하기.
• 다항식 방법을 적용하여 구성된 집합과 하르 측도 사이의 구별 확률이 $N$ 에 대해 저차수 유리 다항식임을 보여주기.
• 점근적 자유도와 순간 일치 기법을 사용하여 대규모 $N$ 근사에서의 유한한 $N$ 경계를 보간하기.
• 효율적 구성 달성을 위해 진정한 랜덤 순열 대신 $k$-순서 독립적 순열 또는 양자 보안적 가짜 랜덤 순열(PRPs)을 사용하기.
• 편광 원리와 추적 노름 경계를 사용하여 적응형 구별 가능성을 제어하고, 비적응형 $1$-노름 보안이 $4^k N^{4k}$ 오버헤드로 적응형 보안을 암시함을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유니터리 $k$-디자인을 $ olimits \tilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))$ 양자 게이트로 구성할 수 있는가? 이는 이론적 하한 $ olimits \Omega(nk)$ 에 대해 로그 인자 수준에서 거의 일치한다.
• RQ2 병렬 보안 설정에서 단지 $ olimits \tilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))$ 게이트를 사용하여 가짜 랜덤 유니터리(PRUs)를 효율적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 대규모-$N$ 랜덤 행렬 이론과 유한한 $N$에 대한 가짜 랜덤성 구성 간에 개념적이고 기술적인 다리가 존재하는가?
• RQ4 구성된 집합과 하르 측도 사이의 구별 확률이 $N=2^n$ 에 대해 저차수 유리 다항식으로 유계일 수 있는가?
• RQ5 올리기 구성에서 $k$-순서 독립적 순열 또는 양자 보안적 PRPs를 사용할 경우, 원하는 가짜 랜덤성 성질이 유지되는가?

주요 결과

• 논문은 $ olimits \tilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))$ 양자 게이트를 사용하여 유니터리 $k$-디자인의 효율적 구성이 가능함을 달성하였으며, 이는 $ olimits \Omega(nk)$ 하한에 거의 근접한다.
• 이 연구는 $ olimits \tilde{O}(k \cdot \mathrm{poly}(n))$ 게이트 복잡도를 가진 첫 번째 병렬 보안적 가짜 랜덤 유니터리(PRU)의 효율적 구성 제공.
• 구성된 집합과 하르 측도 사이의 구별 확률이 $N=2^n$ 에 대해 저차수 유리 다항식임을 보여주어, 대규모 $N$ 근사에서의 보간을 통해 유한한 $N$에 대한 분석이 가능해졌다.
• 구성은 랜덤 위상을 가진 지수 합을 통한 랜덤 순열의 유니터리로의 올림에 기반하며, 이는 하르 측도의 순간들을 $2^{\Omega(n)}$ 차수까지 일치시킨다.
• $k$-순서 독립적 순열 또는 양자 보안적 PRPs를 사용함으로써 저자들은 정보 이론적 $k$-디자인과 계산적 PRUs를 모두 최적의 게이트 복잡도로 달성하였다.
• 이 방법은 다항식 방법을 대규모 $N$ 근사에서의 랜덤 행렬 이론과 연결함으로써 양자 시스템에서의 가짜 랜덤성 분석을 위한 새로운 프레임워크를 수립하였다.