[논문 리뷰] Efficient unitary paths and quantum computational supremacy: A proof of average-case hardness of Random Circuit Sampling

Ramis Movassagh|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 17인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 수정된 QR 분해를 사용하여 유니터리 행렬 간의 보간을 효율적으로 수행하는 다항식 시간 방법을 제안하며, Berlekamp-Welch 알고리즘을 통해 정확한 유리 함수 보간을 가능하게 한다. Random Circuit Sampling(RCS)이 평균적으로 #P-난이도임을 증명하여, 양자 계산 우월성의 근거가 되는 평균적 난이도의 본질을 새롭게 단순화된 증명으로 제시한다.

ABSTRACT

One-parameter interpolations between any two unitary matrices (e.g., quantum gates) $U_1$ and $U_2$ along efficient paths contained in the unitary group are constructed. Motivated by applications, we propose the continuous unitary path $U(θ)$ obtained from the QR-factorization \[ U(θ)R(θ)=(1-θ)A+θB, \] where $U_1 R_1=A$ and $U_2 R_2=B$ are the QR-factorizations of $A$ and $B$, and $U(θ)$ is a unitary for all $θ$ with $U(0)=U_1$ and $U(1)=U_2$. The QR-algorithm is modified to, instead of $U(θ)$, output a matrix whose columns are proportional to the corresponding columns of $U(θ)$ and whose entries are polynomial or rational functions of $θ$. By an extension of the Berlekamp-Welch algorithm we show that rational functions can be efficiently and exactly interpolated with respect to $θ$. We then construct probability distributions over unitaries that are arbitrarily close to the Haar measure. Demonstration of computational advantages of NISQ over classical computers is an imperative near-term goal, especially with the exuberant experimental frontier in academia and industry (e.g., IBM and Google). A candidate for quantum computational supremacy is Random Circuit Sampling (RCS), which is the task of sampling from the output distribution of a random circuit. The aforementioned mathematical results provide a new way of scrambling quantum circuits and are applied to prove that exact RCS is $\#P$-Hard on average, which is a simpler alternative to Bouland et al's. (Dis)Proving the quantum supremacy conjecture requires "approximate" average case hardness; this remains an open problem for all quantum supremacy proposals.

연구 동기 및 목표

• 모든 두 유니터리 행렬 사이에 단위성을 유지하면서 다항식/유리 함수 파arameterization이 가능한 연속적인 경로를 효율적으로 구성하는 것.
• 총변동 거리에서 하르 측도에 대해 임의로 가까운 확률 분포를 유니터리 행렬 위에 구성하는 것.
• 이러한 수학적 도구를 활용하여 Random Circuit Sampling(RCS)의 평균적 #P-난이도를 증명하는 것.
• 이전 연구에서 복잡한 강건성 분석에 의존하지 않고도, 평균적 난이도에 대한 간결한 대안적 증명을 제공하는 것.
• RCS의 정확한 평균적 난이도가 양자 우월성 추측이 성립하기 위해 필수적임을 입증하는 것.

제안 방법

• 선형 보간의 QR 분해를 활용한 새로운 유니터리 보간 기법을 제안: $ U(\theta)R(\theta) = (1-\theta)A + \theta B $, 여기서 $ A = U_1 R_1 $, $ B = U_2 R_2 $이며, 모든 $ \theta \in [0,1] $ 에 대해 $ U(\theta) \in \mathbb{U}(N) $ 임을 보장한다.
• QR 알고리즘을 수정하여 $ U(\theta) $의 열에 비례하는 행렬을 출력하도록 하며, 그 요소들이 $ \theta $의 유리 함수가 되도록 한다.
• Berlekamp-Welch 알고리즘을 적용하여 소수의 샘플로부터 이러한 유리 함수를 정확하고 효율적으로 보간한다. 노이즈가 존재하더라도 가능하다.
• 결과로 얻어진 유니터리 경로의 요소들이 저차수 유리 함수임을 입증하여, 샘플링된 점들로부터 효율적인 재구성 가능함을 보여준다.
• 보간된 경로를 활용해 국소 게이트가 총변동 거리에서 하르 측도에 매우 가까운 분포를 가지는 양자 회로 집합을 구성한다.
• RCS의 평균적 난이도를, 정확한 보간과 최악의 경우 문제의 #P-난이도를 활용해 특정 보간점에서의 출력 확률 계산 난이도로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 두 유니터리 행렬 사이에, 보간 매개수의 효율적 표현 함수로 표현 가능한 연속적이고 단위성 보존 경로를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 경로에서 유도된 유리 함수를 소수의 샘플로부터 정확하고 효율적으로 보간할 수 있는가?
• RQ3 이러한 보간 기법을 활용해 양자 복잡도 이론에서 Random Circuit Sampling(RCS)의 평균적 난이도를 증명할 수 있는가?
• RQ4 RCS의 정확한 평균적 난이도는 양자 우월성 추측이 성립하기 위해 필수적인 조건인가?
• RQ5 총변동 거리에서 하르 측도에 가까운 분포를 가지는 양자 회로 집합을 구성할 수 있으며, 이는 복잡도 이론적 증명에 필요한 구조를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 수정된 QR 알고리즘이 유니터리 행렬 $ U(\theta) $ 를 생성하며, 그 요소들이 $ \theta $ 의 유리 함수로 표현되며, 차수는 $ O(n) $ 이내로 제한되어 있어 $ O(n) $ 개의 샘플로도 효율적인 재구성 가능하다.
• Berlekamp-Welch를 통한 유리 함수 보간은 정확하고 효율적이며, 함수 $ p_0(\theta) $ 를 재구성하기 위해 오직 $ O(mD_4 \text{poly}(n)) $ 개의 평가 점만 필요하다. 여기서 $ D_4 $ 는 유리 함수의 차수이다.
• 논문은 Random Circuit Sampling 이 평균적으로 #P-난이도임을 증명하며, 이전 연구에서 복잡한 강건성 분석에 의존하지 않는 새로운 단순화된 증명을 제공한다.
• RCS의 정확한 평균적 난이도가 양자 우월성 추측이 성립하기 위해 필수적임을 입증하였으며, $ \mathcal{H}_{\mathcal{A},\theta} $-분포를 가진 회로에 대한 효율적 알고리즘이 존재할 경우 하르 분포를 가진 회로에 대해서도 동일한 알고리즘이 존재함을 의미한다.
• 구성된 분포 $ \mathcal{H}_{\mathcal{A},\theta} $ 가 하르 측도와 $ O(\theta) $ 이내의 총변동 거리에서 가까움을 입증하여, 난이도 결과의 이행이 가능함을 보였다.
• Patrui의 보조정리에서 유도된 차수 제약을 바탕으로, 난이도 결과의 강건성이 지수적으로 작을 수 있음을 시사하지만, 이는 향후 연구 과제로 남겨졌다.