[논문 리뷰] Efficient Universal Quantum Compilation: An Inverse-free Solovay-Kitaev Algorithm

Adam Bouland, Tudor Giurgică-Tiron|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 03.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 SU(d) 및 SL(d,ℂ)에서 효율적인 양자 컴파일링을 위한 처음으로 역행이 없는 Solovay-Kitaev 알고리즘을 제안하며, 역행이 닫혀 있는 게이트 세트가 필요하지 않게 하여 다항 로그 길이의 게이트 시퀀스 근사치를 가능하게 한다. 일반화된 파울리 군 근사치에서 자가보정 오차 구조를 활용함으로써, 군 교환자 기반 오차 억제를 가능하게 하는 이차 역행을 구성하며, 임의의 보편 게이트 세트에 대해 O(polylog(ε⁻¹))의 시퀀스 길이를 달성한다.

ABSTRACT

The Solovay-Kitaev algorithm is a fundamental result in quantum computation. It gives an algorithm for efficiently compiling arbitrary unitaries using universal gate sets: any unitary can be approximated by short gates sequences, whose length scales merely poly-logarithmically with accuracy. As a consequence, the choice of gate set is typically unimportant in quantum computing. However, the Solovay-Kitaev algorithm requires the gate set to be inverse-closed. It has been a longstanding open question if efficient algorithmic compilation is possible without this condition. In this work, we provide the first inverse-free Solovay-Kitaev algorithm, which makes no assumption on the structure within a gate set beyond universality, answering this problem in the affirmative, and providing an efficient compilation algorithm in the absence of inverses for both $ ext{SU}(d)$ and $ ext{SL}(d, \mathbb{C})$. The algorithm works by showing that approximate gate implementations of the generalized Pauli group can self-correct their errors.

연구 동기 및 목표

• 역행이 닫혀 있는 게이트 세트가 필요 없이 효율적인 양자 컴파일링이 가능한지 여부라는 오랫동안 미해결된 문제를 해결한다.
• 내부 대수적 구조가 보편성 이외에 무엇이든 간에 상관없이, 어떤 보편 게이트 세트에도 적용 가능한 보편적 양자 컴파일링 알고리즘을 개발한다.
• 정확한 역행이 없는 조건에서 SU(d) 및 SL(d,ℂ) 같은 군으로의 Solovay-Kitaev 프레임워크를 확장한다.
• 비존재적 존재 증명에 남아 있던 격차를 해결하기 위해, 역행이 없는 컴파일링 문제에 대한 구조적이고 알고리즘적인 해결책을 제공한다.

제안 방법

• 모든 ε-근사 유니터리에 대해 ε²-정밀도의 역행을 생성하는 '역행 공장'을 구축하며, 이는 보편 세트에서 유도된 게이트 시퀀스만을 사용한다.
• 군 트윌을 통해 오차 억제를 가능하게 하는 일반화된 파울리 군 연산자의 자가보정 시퀀스를 사용하여 역행 근사치의 오차를 억제한다.
• 군 교환자 구성에서 정확한 역행을 대체하기 위해 역행 공장을 사용하며, 각 재귀 단계에서 오차 감소율이 O(ε³/²)를 유지한다.
• 특수 유니터리 성질(행렬식 = 1)을 활용하여 일반화된 파울리 군과 평행한 오차 억제를 보장함으로써 이차 오차 보정을 가능하게 한다.
• 역행 공장과 교환자 기반 정밀도 향상 기법을 반복 적용하여 이중 지수적 오차 감소와 단일 지수적 시퀀스 길이 증가를 달성한다.
• 행렬식이 1인 조건과 군 트윌 성질을 고려해 SL(d,ℂ)로의 프레임워크를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보편 게이트 세트가 역행이 닫혀 있어야 하는 조건 없이 효율적인 Solovay-Kitaev 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ2 정확한 역행이 없이도 근사 오차 ε에 대해 다항 로그 길이의 컴파일 오버헤드를 달성할 수 있는가?
• RQ3 일반화된 파울리 군 근사치에서 자가보정 오차 구조가 SU(d) 및 SL(d,ℂ)에서의 역행이 없는 컴파일링을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ4 정확한 역행이 없는 조건에서 역행 공장 구조가 군 교환자에 필요한 오차 억제를 유지할 수 있는가?
• RQ5 Solovay-Kitaev 프레임워크는 보편성 이외의 내부 대수적 구조를 고려하지 않는 비역행 닫힘 보편 게이트 세트를 가진 컴act Lie 군으로 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 SU(d)를 생성하는 임의의 보편 게이트 세트에 대해 O(log^γ_d(ε⁻¹))의 시퀀스 길이 스케일링을 달성하며, 지수 γ_d = log(8d² + 1)/log(3/2)로 표현되며, 이는 Θ(log d)이다.
• 큐비트의 경우(d=2) 지수는 약 8.62이며, 표준 S-K 알고리즘의 약 ~3.97보다 높지만 여전히 다항 로그 길이다.
• 알고리즘의 런타임은 O(log^3.97(ε⁻¹))로 스케일링되며, 정확한 역행이 없음에도 불구하고 표준 S-K 알고리즘과 점근적 효율성이 일치한다.
• 역행 공장은 정확한 역행이 없이도 ε-근사 성분만을 사용하여 ε²-정밀도의 역행을 구성하며, 정확한 역행이 없이도 군 교환자에서 오차 억제를 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 자연스럽게 SL(d,ℂ)로 확장되며, 행렬식 기반 오차 억제를 통해 이전의 역행 닫힘 S-K 알고리즘을 역행이 없는 경우로 일반화한다.
• 이 방법은 Solovay-Kitaev 알고리즘의 핵심 재귀적 구조를 유지하며, 자가보정 시퀀스를 사용하여 오차를 ε에서 O(ε³/²)로 매 재귀 단계에서 감소시킨다.