[논문 리뷰] Efficiently Generating Geometric Inhomogeneous and Hyperbolic Random Graphs

Thomas Bläsius, Tobias Friedrich외 4명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Graph Theory and Algorithms인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 기하학적 비균일 무작위 그래프(GIRGs)에 대한 최초의 효율적이고 선형 시간 생성기와 초순환 무작위 그래프(HRGs)에 대한 응용을 제시한다. 이는 비영 온도 및 고차원 기하학을 지원하며, 일반적인 하드웨어에서 1,000만 개 간선의 그래프를 1초 이내로 생성한다. 생성기는 최적화된 기하 샘플링과 거리 필터를 사용하여, 온도 제어 기능이 있는 더 복잡한 이항 모델을 지원함에도 불구하고 기존 HRG 생성기보다 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

Hyperbolic random graphs (HRG) and geometric inhomogeneous random graphs (GIRG) are two similar generative network models that were designed to resemble complex real world networks. In particular, they have a power-law degree distribution with controllable exponent beta, and high clustering that can be controlled via the temperature T. We present the first implementation of an efficient GIRG generator running in expected linear time. Besides varying temperatures, it also supports underlying geometries of higher dimensions. It is capable of generating graphs with ten million edges in under a second on commodity hardware. The algorithm can be adapted to HRGs. Our resulting implementation is the fastest sequential HRG generator, despite the fact that we support non-zero temperatures. Though non-zero temperatures are crucial for many applications, most existing generators are restricted to T = 0. We also support parallelization, although this is not the focus of this paper. Moreover, we note that our generators draw from the correct probability distribution, i.e., they involve no approximation. Besides the generators themselves, we also provide an efficient algorithm to determine the non-trivial dependency between the average degree of the resulting graph and the input parameters of the GIRG model. This makes it possible to specify the desired expected average degree as input. Moreover, we investigate the differences between HRGs and GIRGs, shedding new light on the nature of the relation between the two models. Although HRGs represent, in a certain sense, a special case of the GIRG model, we find that a straight-forward inclusion does not hold in practice. However, the difference is negligible for most use cases.

연구 동기 및 목표

• 비영 온도 및 고차원 기하학을 지원하는 효율적이고 선형 시간의 기하학적 비균일 무작위 그래프(GIRGs) 생성기를 개발하는 것.
• GIRG 생성기를 초순환 무작위 그래프(HRGs)에 적응시켜, 온도 제어가 가능한 이항 변형을 포함한, 기존에 드물게 구현된 모델을 지원하는 것.
• 선형 시간 추정 알고리즘을 통해 GIRGs의 기대 평균 차수에 대한 정밀한 제어를 가능하게 하여, 비트리비얼한 매개변수 의존성을 해결하는 것.
• 샘플링 알고리즘의 명확하고 구현 가능한 기술과 GIRGs 및 HRGs 간 실용적 관계를 평가하는 것.

제안 방법

• Bringmann 등 [7]의 핵심 샘플링 알고리즘을 비영 온도 및 고차원 기하학을 지원하도록 수정한다.
• 간선 샘플링 중 비용이 많이 드는 지수 계산을 줄이기 위해, 사전에 역확률을 계산하는 거리 필터를 구현하여 약 2배의 성능 향상을 달성한다.
• d차원 격자에서 효율적인 공간 색인과 이웃 검색을 위해, 최적화된 비트 연산(BMI2 명령어 등)을 사용한 Morton 코드를 활용한다.
• 기대 평균 차수를 얻기 위한 매개변수 c를 추정하기 위해, 단조 증가 함수에 대해 이진 탐색을 사용하며, 기대 차수를 계산하는 선형 시간 알고리즘을 활용한다.
• 무게 순으로 정점들을 처리함으로써, 부분 정렬 및 이웃 집합 재사용을 통해 간선 평가 비용을 O(|ER|)에서 O(|R|)로 감소시킨다.
• 비용이 많이 드는 arccosh 계산을 피하기 위해, 초순환 거리 계산을 최적화하여 cosh(d) < cosh(R) 조건을 사용하고, 중간 값은 사전에 계산하여 반복적인 비용이 드는 연산을 방지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 비균일 무작위 그래프(GIRG) 생성기를 비영 온도 및 고차원 기하학을 지원하면서도 선형 기대 시간 복잡도를 유지할 수 있도록 효율적으로 구현하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 GIRG 모델의 입력 매개변수와 결과 평균 차수 사이의 비트리비얼한 관계는 무엇이며, 이를 효율적으로 역으로 풀 수 있는가?
• RQ3 제안된 GIRG 생성기의 성능는 특히 이항(비영 온도) 경우에서 기존 HRG 생성기와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ4 실제로 GIRGs는 HRGs를 어느 정도 근사할 수 있으며, HRGs의 부분그래프 또는 초과그래프를 얻기 위해 평균 차수 조정이 얼마나 필요한가?
• RQ5 핵심 샘플링 알고리즘은 비영 온도를 지원할 때에도 높은 성능을 유지하면서 HRGs에 적응시킬 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 GIRG 생성기는 기대 선형 시간 내에 동작하며, 일반 하드웨어에서 1,000만 개 간선의 그래프를 1초 이내로 생성한다.
• 생성기는 비영 온도 및 고차원 기하학을 지원하여, GIRG 모델에 대해 이와 같은 기능을 갖춘 최초의 효율적 구현이다.
• 동일한 알고리즘을 기반으로 한 HRG 생성기는 비록 더 복잡한 이항 모델과 온도 제어를 지원함에도 불구하고, 현재까지 공개된 최고의 순차적 HRG 생성기이다.
• 기대 평균 차수를 선형 시간 매개변수 추정 알고리즘을 통해 정밀하게 제어할 수 있으며, 이는 입력 매개변수와 기대 차수 사이의 비트리비얼한 의존성을 해결한다.
• 거리 필터 최적화로 인해, 사전에 역확률을 계산함으로써 고비용 지수 계산의 빈도를 줄여 간선 샘플링 시 약 2배의 성능 향상을 달성한다.
• 이론적으로 유사하나, 기하학적 및 매개변수화 차이로 인해 HRGs를 GIRGs의 특수 케이스로 직접 포함할 수는 없으나, 대부분의 사용 사례에서는 이 차이가 무시할 만큼 작다.