[논문 리뷰] Eigenfunctions of the Multidimensional Linear Noise Fokker-Planck Operator via Ladder Operators

Todd K. Leen, Robert Friel외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 31.

Statistical Mechanics and Entropy참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 선형 드리프트와 일정한 확산을 갖는 다차원 Fokker-Planck 연산자에 대해 상승 및 하강 연산자를 개발하여 고유함수와 고유값을 명시적으로 구성한다. 주요 기여는 특수한 좌표계에서 이러한 고유함수들이 헤르미트 함수의 곱의 합으로 줄어들며, 시간에 의존하고 비균일한 Fokker-Planck 방정식을 풀기 위한 이중수직 기저를 형성한다는 것이다.

ABSTRACT

The eigenfunctions and eigenvalues of the Fokker-Planck operator with linear drift and constant diffusion are required for expanding time-dependent solutions and for evaluating our recent perturbation expansion for probability densities governed by a nonlinear master equation. Although well-known in one dimension, for multiple dimensions the eigenfunctions are not explicitly given in the literature. We develop raising and lowering operators for the Fokker-Planck (FP) operator and its adjoint, and use them to obtain expressions for the corresponding eigenvalues and eigenfunctions. We show that the eigenfunctions for the forward and adjoint FP operators form a bi-orthogonal set, and that the eigenfunctions reduce to sums of products of Hermite functions in a particular coordinate system.

연구 동기 및 목표

• 다차원에서의 전방 및 수반 Fokker-Planck 연산자에 대해 고유함수와 고유값을 명시적이고 체계적으로 구성하는 것.
• 드리프트 및 확산 행렬이 동시에 대각화되지 않을 경우 다차원 경우에서의 고유함수 표현이 부족한 문제를 다루는 것.
• 전방 및 수반 연산자에 대한 고유함수의 이중수직 기저를 확립하여 시간에 의존하는 해와 비선형 마스터 방정식의 섭동 해를 전개할 수 있도록 하는 것.
• 정적 상태의 공분산이 분산 1/2인 구형 대칭을 이루는 좌표계에서 고유함수가 헤르미트 함수의 곱의 합으로 줄어들게 된다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 드리프트 행렬 $ A $의 우측 고유벡터 $ e_I $를 사용하여 상승 연산자 $ V_I = -e_I abla $를 도입하여, 정적 상태 $ f_0 $에서 전방 Fokker-Planck 연산자 $ L $의 고유함수를 생성한다.
• 드리프트 행렬 $ A $의 좌측 고유벡터 $ w_I $를 사용하여 수반 상승 연산자 $ ar{V}_I $를 정의하여, 상수 함수 $ g_0 = 1 $에서 수반 연산자 $ L^lat $의 고유함수를 생성한다.
• 공액관계식 $[L, V_I] = \bar{\nu}_I V_I$ 및 $[L^\flat, \bar{V}_I] = \nu_I \bar{V}_I $를 유도하여, $ V_I $와 $ \bar{V}_I $가 각각 $ L $과 $ L^\flat $에 대한 상승 연산자임을 확인한다.
• 고유함수를 $ f_{n_1,\nu_2,\nu_3,\nu_4} = \big(\bigotimes_I (V_I)^{n_I}\big) f_0 $로 구성하고, 해당 고유값을 $ \nu = \nu_I n_I $로 설정하며, $ g_K $에 대해서도 유사하게 구성하여 완전한 이중수직 집합을 형성한다.
• 정적 상태의 공분산 행렬 $ \tilde{\nu} $가 항등행렬에 비례하는 좌표계로의 변환을 수행하여, 이 프레임에서 고유함수가 $ f_0 $를 곱한 헤르미트 함수의 곱으로 줄어들게 된다는 것을 보여준다.
• 이중수직성과 정규화 관계식 $ \braket{g_K | f_K} = \nu_K $를 사용하여, 고유함수 전개를 통해 비균일한 Fokker-Planck 방정식을 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리프트 및 확산 행렬이 동시에 대각화되지 않을 경우, 선형 드리프트와 일정한 확산을 갖는 다차원 Fokker-Planck 연산자의 고유함수와 고유값을 어떻게 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 다차원에서의 전방 및 수반 Fokker-Planck 연산자의 고유함수의 구조는 어떻게 되며, 이들은 헤르미트 함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 전방 및 수반 Fokker-Planck 연산자에 대해 상승 및 하강 연산자를 정의하여 완전한 이중수직 고유기저를 생성할 수 있는가?
• RQ4 어떤 좌표 변환에서 Fokker-Planck 연산자의 고유함수가 일차원 헤르미트 함수의 곱으로 줄어들게 되는가?
• RQ5 고유함수 기저는 어떻게 사용하여 시간에 의존하고 비균일한 Fokker-Planck 방정식을 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 전방 Fokker-Planck 연산자 $ L $의 고유함수는 $ f_{n_1,\nu_2,\nu_3,\nu_4} = \big(\bigotimes_I (V_I)^{n_I}\big) f_0 $로 구성되며, 고유값은 $ \nu = \nu_I n_I $이다. 여기서 $ V_I $는 드리프트 행렬 $ A $의 우측 고유벡터에서 유도된 상승 연산자이다.
• 수반 연산자 $ L^\flat $의 고유함수는 $ g_{n_1,\nu_2,\nu_3,\nu_4} = \big(\bigotimes_I (\bar{V}_I)^{n_I}\big) g_0 $로 생성되며, 고유값은 $ \nu = \nu_I n_I $이다. 이는 $ A $의 좌측 고유벡터를 사용한다.
• 고유함수 $ f_K $와 $ g_K $는 $ \braket{g_K | f_K} = \nu_K $를 만족하는 이중수직 집합을 이루며, $ \braket{g_0 | f_0} = 1 $로 정규화되어 있다.
• 정적 상태의 공분산 행렬 $ \tilde{\nu} $가 항등행렬에 비례하는(즉, $ \tilde{\nu} = \frac{1}{2} I $) 좌표계에서 고유함수는 $ f_0 $를 곱한 헤르미트 함수의 곱의 합으로 줄어들며, 이는 1차원 헤르미트 함수 기저를 일반화한 것이다.
• Fokker-Planck 연산자 $ L $은 $ L = \frac{1}{2} \nu_I V_I \bar{V}_I^\flat $로 표현되며, $ L^\flat = \frac{1}{2} \nu_I^* \bar{V}_I V_I^\flat $로 표현되며, 이는 비에르미트 연산자를 갖는 양자 조화진동자 해밀토니안과 유사하다.
• 비균일한 Fokker-Planck 방정식의 해, 예를 들어 $ L P^{(i)} = q^{(i)} $는 $ P^{(i)}(x) = \frac{1}{\nu_K \braket{g_K | f_K}} \braket{g_K | q^{(i)}} f_K(x) $로 주어지며, $ K \neq 0 $에 대해 합산된다. 이를 통해 비선형 마스터 방정식의 섭동 해를 얻을 수 있다.