[논문 리뷰] Eigenprojectors, Bloch vectors and quantum geometry of $N$-band systems

Ansgar Graf, Frédéric Piéchon|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 19.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 70인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $N$-밴드 시스템에서 양자 기하텐서—베리 곡률과 양자 미터릭—을 계산하기 위한 게이지 불변 프레임워크를 소개한다. 고유상태를 직접 구성하지 않고 고유프로젝터와 일반화된 블로흐 벡터를 사용하여 문제적일 수 있는 고유상태 구성의 어려움을 피한다. 이는 두 밴드 시스템의 베리 곡률 공식을 $N$-밴드로 일반화한 명시적 표현을 유도하며, 동일한 스펙트럼을 가졌지만 대칭성이 다른 시스템에서 서로 다른 기하적 성질을 드러낸다.

ABSTRACT

The eigenvalues of a parameter-dependent $N imes N$ Hamiltonian matrix form a band structure in parameter space. Quantum geometric properties (Berry curvature, quantum metric, etc.) of such $N$-band systems are usually computed from parameter-dependent eigenstates. This approach faces several difficulties, including gauge ambiguities and singularities in the multicomponent eigenfunctions. In order to circumvent this problem, this work exposes an alternative approach based on eigenprojectors and (generalized) Bloch vectors. First, an expansion of each eigenprojector as a matrix polynomial in the Hamiltonian is deduced, and using SU($N$) Gell-Mann matrices an equivalent expansion of each Bloch vector is found. In a second step, expressions for the $N$-band Berry curvature and quantum metric in terms of Bloch vectors are obtained. This leads to new explicit Berry curvature formulas in terms of the Hamiltonian vector, generalizing the well-known two-band formula to arbitrary $N$. Moreover, a detailed treatment is given for the case of a particle-hole symmetric energy spectrum, which occurs in systems with a chiral or charge conjugation symmetry. For illustrating the formalism, several model Hamiltonians featuring a multifold linear band crossing are discussed; they have identical energy spectra but completely different geometric and topological properties. The methodology used in this work is more broadly applicable to compute any physical quantity, or to study the quantum dynamics of any observable without the explicit construction of energy eigenstates.

연구 동기 및 목표

• 고유상태 기반의 $N$-밴드 시스템에서의 양자 기하텐서 계산 시 발생하는 게이지 모호성과 특이점을 극복하기 위해.
• 다중 성분 고유상태를 명시적으로 구성하지 않고도 베리 곡률과 양자 미터릭을 계산할 수 있는 형식론을 개발하기 위해.
• SU($N$) 군 이론을 활용해 두 밴드 시스템의 베리 곡률 공식을 임의의 $N$-밴드 시스템으로 일반화하기 위해.
• 입자-홀 대칭성을 가지는 시스템, 예를 들어 케일리 또는 전하 켤레 대칭성을 가지는 시스템을 새로운 형식론을 통해 분석하기 위해.
• 동일한 에너지 스펙트럼을 가진 시스템이 다중 밴드 교차를 가진 모델 해밀토니언을 통해 매우 다른 기하학적 및 위상적 성질을 지닐 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 각 고유프로젝터를 해밀토니안 행렬에 대한 행렬 다항식으로 전개한다.
• 각 고유프로젝터를 SU($N$) 겔-망 행렬을 사용해 일반화된 블로흐 벡터로 표현한다.
• 이러한 블로흐 벡터를 바탕으로 $N$-밴드 베리 곡률과 양자 미터릭의 명시적 표현을 도출한다.
• 해밀토니안 벡터를 사용해 두 밴드 시스템의 베리 곡률 공식을 임의의 $N$으로 일반화한다.
• 다중선형 밴드 교차를 가진 모델 해밀토니언에 이 형식론을 적용하여 기하적 성질을 비교한다.
• 이 방법이 고유상태를 구성하지 않고도 물리적 관측량을 계산하고 양자 역학적 동역학을 연구하는 데에도 널리 적용 가능함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수에 의존하는 고유상태에 의존하지 않고서도 $N$-밴드 시스템에서 양자 기하텐서를 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 두 밴드 시스템의 베리 곡률 공식은 임의의 $N$-밴드 시스템으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 동일한 에너지 스펙트럼을 가졌지만 대칭성이 다른 시스템에서 기하학적 및 위상적 성질는 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ4 입자-홀 대칭성은 $N$-밴드 시스템의 양자 기하학에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 형식론을 사용해 고유상태를 명시적으로 계산하지 않고도 관측량을 계산하거나 동역학을 연구할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 해밀토니안 벡터를 이용한 게이지 불변 표현을 유도하여, 두 밴드 공식을 임의의 $N$-밴드로 일반화한 $N$-밴드 베리 곡률을 도출한다.
• 이 형식론은 고유상태의 특이성을 피하면서도, 블로흐 벡터 전개를 통해 $N$-밴드 시스템에서의 양자 미터릭을 계산할 수 있도록 한다.
• 입자-홀 대칭성을 가지는 시스템의 경우, 이 형식론은 베리 곡률과 양자 미터릭이 대칭성의 구조에 의해 제약을 받음을 드러낸다.
• 동일한 선형 밴드 교차를 가지지만 대칭성이 다른 모델 해밀토니언은 이 형식론을 통해 서로 다른 기하학적 및 위상적 성질을 지닌다.
• 이 방법은 고유상태를 구성하지 않고도 물리적 관측량과 양자 역학적 동역학을 직접 계산할 수 있게 하여 수치적 및 해석적 타당성을 높인다.
• 고유프로젝터와 블로흐 벡터의 사용은 기존의 고유상태 기반 접근법에 비해 더 견고하고 특이점이 없는 대안을 제공한다.