[논문 리뷰] Eigenstate Thermalization Hypothesis in Conformal Field Theory

Nima Lashkari, Anatoly Dymarsky외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 02.

Physics of Superconductivity and Magnetism인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 등각 양자장론(CFT)에서 국소(primary) 연산자에 대한 에igenstate 열역학 가설(ETH) — 즉 국소 ETH — 이 임의의 유한한 부분계(system)의 전체 축약 밀도 행렬에 대한 ETH를 암시한다는 것을 증명한다. 1+1차원 CFT에서는 이로 인해 유니버설 밀도 행렬이 바이러스로라 항등원 블록에 의해 잘 근사되며, 이로 인해 얽힘 엔트로피는 열역학적 상태와 정확히 일치하지만, 무한한 힐베르트 공간 차원으로 인해 유니버설 Renyi 엔트로피는 유한한 보정 항으로 다를 수 있다.

ABSTRACT

We investigate the eigenstate thermalization hypothesis (ETH) in d+1 dimensional conformal field theories by studying reduced density matrices in energy eigenstates. We show that if local probes of high energy primary eigenstates satisfy ETH, then any finite energy observable with support on a subsystem of finite size satisfies ETH. In two dimensions, we discover that if ETH holds locally, the finite size reduced density matrix of states created by heavy primary operators is well-approximated by a projection to the Virasoro identity block.

연구 동기 및 목표

• CFT에서 국소 ETH와 유한한 부분계의 전체 축약 밀도 행렬에 대한 ETH 사이의 엄밀한 연결 고리를 확립하기 위해.
• 국소 ETH가 부분계의 유한 에너지 관측량(몇 개의 몸체를 초월한 연산자 포함)에 대해 ETH를 암시함을 보여주기 위해.
• 2차원 CFT에서 국소 ETH가 성립할 경우, 에너지 고유상태 밀도 행렬이 바이러스로라 항등원 블록에 의해 잘 근사된다는 것을 보여주기 위해.
• 에너지 고유상태에서의 간격에 대한 유니버설 Renyi 엔트로피를 계산하고 열역학적 상태와 비교하기 위해.
• 국소 ETH를 CFT에서 양자 혼돈의 잠재적 정의로 삼아, 이는 통합 모델과의 차이를 구분할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 에너지 고유상태를 구상에서 평면 공간의 국소 주요 연산자로 연결하기 위해 등각 변환을 사용하여 해석적 제어를 가능하게 하였다.
• 국소 ETH를 에너지 고유상태에서의 국소 주요 연산자의 행렬 요소가 대각선이며 부드러운 대각선 항목과 지수적으로 작은 비대각선 항목을 가진다고 정의하였다.
• 유클리드 경로 적분 기법을 적용하여 고유상태와 열역학적 축약 밀도 행렬 간의 편차의 트레이스 노름과 두 노름을 계산하였다.
• 1+1차원 CFT에서 국소 ETH 하에 부분계의 유니버설 밀도 행렬을 바이러스로라 항등원 블록에 투영함으로써 유도하였다.
• 유니버설 밀도 행렬을 사용하여 $ R / \lambda_T $ 에 대해 순서별로 Renyi 엔트로피를 계산하고 열역학적 결과와 비교하였다.
• Fannes-Audenaert 부등식과 상대 엔트로피 경계를 사용하여 고유상태와 열역학적 밀도 행렬 간의 트레이스 거리가 엔트로피에 대해 지수적으로 작다는 것을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CFT에서 국소 ETH는 임의의 유한한 부분계의 전체 축약 밀도 행렬에 대한 ETH를 암시하는가?
• RQ2 1+1차원 CFT에서 국소 ETH 하에 에너지 고유상태의 축약 밀도 행렬은 바이러스로라 항등원 블록에 의해 근사될 수 있는가?
• RQ3 에너지 고유상태에서의 Renyi 엔트로피는 열역학적 상태와 어떻게 비교되는가? 그리고 이러한 격리의 원인은 무엇인가?
• RQ4 국소 ETH는 CFT에서 양자 혼돈의 정의로 작용할 수 있는가? 이는 통합 모델과의 차이를 구분할 수 있는가?
• RQ5 무한한 힐베르트 공간 차원은 고유상태와 열역학적 상태 사이의 얽힘 엔트로피와 Renyi 엔트로피의 차이에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 국소 ETH는 CFT에서 어떤 유한한 부분계의 축약 밀도 행렬이 고유상태에서 열역학적 밀도 행렬과 트레이스 노름에서 지수적으로 가까이 있다는 것을 암시한다.
• 1+1차원 CFT에서 고에너지 고유상태의 축약 밀도 행렬은 국소 ETH가 성립할 경우 바이러스로라 항등원 블록에 투영된 것으로 잘 근사된다.
• 고유상태 밀도 행렬의 얽힘 엔트로피($ n=1 $)는 열역학적 밀도 행렬과 정확히 일치한다. 이는 고차수 Renyi 엔트로피의 차이에도 불구하고 그렇다.
• Renyi 엔트로피는 $ (R/\lambda_T)^{2k} $ 비례하는 유한한 보정 항으로 열역학적 값과 다를 수 있으며, $ n>1 $ 에서 첫 번째 격리는 $ (R/\lambda_T)^4 $ 차수에서 나타난다.
• 고유상태와 열역학적 축약 밀도 행렬 간의 트레이스 거리는 $ e^{-O(S(E))} $ 로 경계지어지며, 이는 ETH를 가장 강력한 의미에서 확인한다.
• $ n>1 $ 에서 Renyi 엔트로피의 격리는 무한한 차원의 힐베르트 공간 덕분에 발생한다. 이는 상태들이 트레이스 노름에서 가까워져도 유한한 차이가 존재할 수 있음을 허용하기 때문이다.