[논문 리뷰] Eigenvalue tests for the number of latent factors in short panels

Alain-Philippe Fortin, Patrick Gagliardini외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 28.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 고정된 시간 차원(T)과 큰 횡단적 크기(n)를 가진 단기 패널에서 잠재 요인의 수를 결정하기 위한 고유값 기반 검정을 제안한다. 대칭 행렬에 대한 펌정 이론과 고유값 간격을 이용하여 구면 오차 또는 도구 변수 조건 하에서 점점 타당한 검정을 개발하였으며, 미국 주식 시장 데이터에서 호황기와 경기침체기 모두에서 5~7개의 잠재 요인을 실증적으로 확인하였다. 이는 경기침체기에는 단일 요인 모델이 지배한다는 일반적인 믿음을 뒤집는 결과이다.

ABSTRACT

This paper studies new tests for the number of latent factors in a large cross-sectional factor model with small time dimension. These tests are based on the eigenvalues of variance-covariance matrices of (possibly weighted) asset returns, and rely on either the assumption of spherical errors, or instrumental variables for factor betas. We establish the asymptotic distributional results using expansion theorems based on perturbation theory for symmetric matrices. Our framework accommodates semi-strong factors in the systematic components. We propose a novel statistical test for weak factors against strong or semi-strong factors. We provide an empirical application to US equity data. Evidence for a different number of latent factors according to market downturns and market upturns, is statistically ambiguous in the considered subperiods. In particular, our results contradicts the common wisdom of a single factor model in bear markets.

연구 동기 및 목표

• 작은 시간 차원(T 고정, n → ∞)을 가진 대규모 횡단적 패널에서 잠재 요인의 수를 식별하는 데 도전 과제를 해결한다.
• 약한, 반강한 또는 강한 요인 구조 하에서 잠재 요인 수에 대한 점점 타당한 통계적 검정을 개발한다.
• 큰 T가 필요하거나 정규 오차를 가정하는 기존 방법의 한계를 극복하기 위해 유한 차원의 고유값 분포를 활용한다.
• 고유값 간격 비율을 이용해 약한 요인과 반강한/강한 요인을 구별하는 새로운 검정을 도입한다.
• 시장 제도에 따른 요인 안정성에 대한 실증적 증거를 제공하며, 특히 경기침체기의 단일 요인 모델에 대한 일반적인 믿음을 시험한다.

제안 방법

• 자산 수익률의 표본 분산-공분산 행렬의 고유값과 간격에 기반한 검정 통계량을 제안한다.
• n → ∞ 및 고정된 T 조건 하에서 대칭 행렬의 작은 고유값에 대한 균일한 펌정 전개를 사용하여 점점 분포를 유도한다.
• 유한 차원의 위샤르트 및 가우시안 행렬 고유값 이론을 활용해 점점 분포를 유도한다.
• 두 가지 별개의 식별 전략을 구현한다: (1) √nS(k)에 대한 구면 오차 가정, (2) 요인 베타에 대한 도구 변수.
• 고유값 간격 비율에 기반한 새로운 검정 통계량 S*(k)를 도입하여 약한 요인과 반강한/강한 요인을 탐지한다.
• p-값을 활용한 순차적 검정을 적용하여 식별 가정(구면성 대비 도구 변수)에 관계없이 요인 수를 선택함으로써 결과의 강건성을 확보한다.

Figure 1: Level curves for the joint pdf of eigenvalue spacings $s_{1}=\delta_{1}(Z^{*})-\delta_{2}(Z^{*})$ and $s_{2}=\delta_{2}(Z^{*})-\delta_{3}(Z^{*})$ for random matrix $Z^{*}$ in GOE( $3$ ).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 T와 큰 n을 가진 단기 패널에서 표본 공분산 행렬의 최소 고유값의 점점 분포는 무엇인가?
• RQ2 T가 작고 고정되어 있을 때 고유값 기반 검정이 잠재 요인의 수를 신뢰성 있게 탐지할 수 있는가?
• RQ3 다양한 요인 강도 제도(약, 반강, 강)에서 제안된 검정의 성능은 어떠한가?
• RQ4 시장 침체기 동안 호황기와 비교해 잠재 요인의 수가 변화하는 실증적 증거가 있는가?
• RQ5 경기침체기에는 단일 지배적 요인이 존재한다는 일반적인 믿음이 엄격한 고유값 기반 검정에서 유지되는가?

주요 결과

• 모든 네 개의 하위기간 동안 √nS(k)와 nT(k) 검정 통계량이 일치하는 결과를 보였으며, 양호한 시장과 경기침체기 모두에서 5~7개의 잠재 요인을 나타내는 p-값이 도출되었다.
• 1977/03–1978/02 기간에 대해 0개 요인의 귀무가설은 1% 수준에서 기각되었으며(p-값 < 0.01), 1개 요인의 귀무가설은 기각되지 않았다(p-값 ≈ 0.09).
• 고유값 간격 비율 검정 S*(k)는 소수의 요인을 탐지하는 데 낮은 검정력을 보이며, 주로 고차원의 귀무가설만 기각한다.
• 실증 결과는 경기침체기에는 단일 요인 모델이 지배한다는 일반적인 믿음을 뒤집으며, 침체기 동안 요인 수의 유의미한 감소가 발견되지 않았다.
• 시장 제도에 관계없이 잠재 요인의 수는 비교적 안정되어 있으며, 두 통계량 모두 모든 하위기간에서 5~7개의 요인을 선택하였다.
• 서로 다른 식별 가정(구면성 대비 도구 변수)을 기반으로 한 두 검정 통계량 간의 일치는 결과의 강건성을 강력히 뒷받침한다.

Figure 2: The pdf $f_{3}(s)$ of eigenvalue spacing $s=\delta_{1}(Z^{*})-\delta_{3}(Z^{*})$ and the pdf $g_{3}(r)$ of eigenvalue spacings’ ratio $r=[\delta_{1}(Z^{*})-\delta_{2}(Z^{*})]/[\delta_{2}(Z^{*})-\delta_{3}(Z^{*})]$ for random matrix $Z^{*}$ in GOE( $3$ ).