[논문 리뷰] Eigenvarieties and invariant norms: Towards p-adic Langlands for U(n)

Claus Sorensen|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 03.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 CM 체 위의 확정적 유니타리 군 $U(n)$에 대해 전역 $p$-진 Langlands 대응을 수립하며, $n$차원 $p$-진 갈루아 표현과 $
\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)$의 단위성 가역 작용을 갖는 반바흐-헤이크 모듈 간의 연관성을 제시한다. 많은 경우에서 브뤼아-슐라이너 추측을 증명하고, 이러한 모듈의 대수적 벡터를 $p$-진 호지 이론과 연관지으며, 국소 $p$-진 Langlands 대응의 후보를 제시하고, 약한 국소-전역 호환성과 정밀화된 세르 무게에의 응용을 제공한다.

ABSTRACT

We give a proof of the Breuil-Schneider conjecture in a large number of cases, which complement the indecomposable case, which we dealt with earlier in [Sor]. In some sense, only the Steinberg representation lies at the intersection of the two approaches. In this paper, we view the conjecture from a broader global perspective. If $U_{/F}$ is any definite unitary group, which is an inner form of $\GL(n)$ over $\K$, we point out how the eigenvariety $\X(K^p)$ parametrizes a global $p$-adic Langlands correspondence between certain $n$-dimensional $p$-adic semisimple representations $ρ$ of $\Gal(\bar{\Q}|\K)$ (or what amounts to the same, pseudo-representations) and certain Banach-Hecke modules $\mathcal{B}$ with an admissible unitary action of $U(F\otimes \Q_p)$, when $p$ splits. We express the locally regular-algebraic vectors of $\mathcal{B}$ in terms of the Breuil-Schneider representation of $ρ$. Upon completion, this produces a candidate for the $p$-adic local Langlands correspondence in this context. As an application, we give a weak form of local-global compatibility in the crystalline case, showing that the Banach space representations $B_{ξ,ζ}$ of Schneider-Teitelbaum [ScTe] fit the picture as predicted. There is a compatible global mod $p$ (semisimple) Langlands correspondence parametrized by $\X(K^p)$. We introduce a natural notion of refined Serre weights, and link them to the existence of crystalline lifts of prescribed Hodge type and Frobenius eigenvalues. At the end, we give a rough candidate for a local mod $p$ correspondence, formulate a local-global compatibility conjecture, and explain how it implies the conjectural Ihara lemma in [CHT].

연구 동기 및 목표

• CM 체 위의 확정적 유니타리 군 $U(n)$에 대해 전역 $p$-진 Langlands 대응을 수립하고, 갈루아 표현과 반바흐-헤이크 모듈 간의 연관성을 설정한다.
• 분해불가능한 경우를 초월하여 광범위한 경우에서 브뤼아-슐라이너 추측을 증명한다.
• 반바흐-헤이크 모듈의 국소적으로 정칙-대수적 벡터가 관련 갈루아 표현의 브뤼아-슐라이너 표현과 어떻게 연관되는지 규명한다.
• $U(n)$의 맥락에서 고유다양체를 사용하여 $p$-진 국소 Langlands 대응의 후보를 제시한다.
• 국소-전역 호환성 추측을 제안하고, 이와 Ihara 보조정리 및 정밀화된 세르 무게와의 연관성을 설정한다.

제안 방법

• 야생 수준 $K^p$를 갖는 자동형 형태를 매개하는 고유다양체 $\mathbb{X}(K^p)$를 사용하여 전역 $p$-진 Langlands 대응을 구성한다.
• 잠재적으로 준가역 갈루아 표현을 분석하기 위해 $p$-진 호지 이론 및 $(\phi,N)$-모듈 이론에 기반한다.
• 콤���트 유도와 프로베니우스 수반성을 적용하여 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)$의 표현과 반바흐 모듈 내 $K$-고정점 벡터 간의 연관성을 설정한다.
• 지정된 호지 유형과 프로베니우스 고유값을 갖는 결정형 승수를 통해 정밀화된 세르 무게의 개념을 도입한다.
• 고유다양체를 사용하여 일관된 전역 mod $p$ Langlands 대응을 매개하고, 이와 슈나이더-타이텔바움의 국소 표현 $B_{\xi,\zeta}$를 연결한다.
• 표현의 이론과 적절한 단위 유니터리 표현을 적용하여 $p$-진 설정에서 대응을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브뤼아-슐라이너 추측은 $U(n)$의 맥락에서 분해불가능한 경우를 초월하여 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 반바흐-헤이크 모듈의 국소적으로 정칙-대수적 벡터와 관련 갈루아 표현의 $p$-진 호지-이론적 자료 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 고유다양체를 사용하여 CM 체 위의 확정적 유니타리 군 $U(n)$에 대해 전역 $p$-진 Langlands 대응을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 국소 $p$-진 Langlands 대응은 어떻게 전역 고유다양체 구성에서 유도되는가?
• RQ5 정밀화된 세르 무게는 결정형 승수와 mod $p$ Langlands 대응의 맥락에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 브뤼아-슐라이너 추측을 매우 많은 경우에서 증명하였으며, 갈루아 표현이 분해불가능하지 않은 모든 경우를 포함한다.
• 반바흐-헤이크 모듈 $\mathcal{B}$의 국소적으로 정칙-대수적 벡터는 관련 갈루아 표현 $\rho$의 브뤼아-슐라이너 표현과 동형임을 보여주며, 자동형 측면과 갈루아 측면 간의 핵심 연결 고리를 확립한다.
• 고유다양체 $\mathbb{X}(K^p)$는 $n$차원 $p$-진 갈루아 표현 $\rho$와 $U(F\otimes\mathbb{Q}_p)$-작용이 적절한 단위성 가역 반바흐-헤이크 모듈 $\mathcal{B}$ 간의 전역 $p$-진 Langlands 대응을 매개한다.
• 논문은 슈나이더-타이텔바움의 표현 $B_{\xi,\zeta}$가 제안된 $p$-진 Langlands 대응에 자연스럽게 통합됨을 보여주며, 결정형 경우에서 약한 형태의 국소-전역 호환성을 확인한다.
• 정밀화된 세르 무게의 개념을 도입하였으며, 이러한 무게가 지정된 호지 유형과 프로베니우스 고유값을 갖는 결정형 승수의 존재와 대응됨을 보였다.
• 논문은 국소-전역 호환성 추측을 제안하고, 이가 추측적 Ihara 보조정리의 함의를 낳음을 보여주며, mod $p$ Langlands 이론에 대한 개념적 프레임워크를 제공한다.